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Erstes Capitel. 
2) Sind a und b relative Primzahlen, hat aber ah den Theiler b, 
so ist h durch b theilbar. 
3) Ist jede Zahl einer Reihe von Zahlen relativ prim gegen 
jede Zahl einer zweiten Reihe, so ist auch das Product 
aller Zahlen der ersten Reihe relativ prim gegen das Pro 
duct aller Zahlen der zweiten Reihe, und speciell sind die 
Potenzen relativ primer Zahlen wieder Zahlen ohne gemein 
samen Theiler. 
Wir können auch die gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen, d.h. 
die Zahlen, welche durch a und Tj theilbar sind und speciell das Ideinste 
gemeinschaftliche Vielfache angeben, dessen Vielfache die übrigen Mul 
tipla von a und l) sind. Ist 
a = ma', b = mb' 
und sind a' und b’ relativ prim, so hat jedes Vielfache von a und b 
die Gestalt 
n . ma'b' 
und das kleinste ist ma’b'. 
Nennt man eine Zahl p Primzahl, wenn sie nur die Einheit und 
sich selbst zum Theiler hat, und bringt man p mit einer andern Zahl 
a in Vergleich, so ist p entweder Theiler von a, oder p und a sind re 
lativ prim. Die Zahl p mufs ebenso Theiler eines Factors des Pro 
ductes a . b .. . sein, wenn das Product und die Primzahl nicht rela 
tiv prim sind. Auf diesen Eigenschaften der Primzahl beruht der 
folgende Satz: 
Jede Zahl a, die nicht selbst eine Primzahl ist, läfst sich immer 
nur auf eine Weise in ein Product von Primzahlen zerlegen. 
Die Zerlegung einer Zahl a in das Product von Theilern a X} a 2 . . . 
mufs nämlich zu einem Abschlufs führen, da diese Theiler immer kleiner 
werden und nur eine beschränkte Anzahl von Zahlen existirt, die 
kleiner sind als a\ der letzte kleinste Theiler a n ist eine Primzahl p x , 
und es wird a—p x h x . Durch denselben Vorgang findet man für Je, 
eine Zerlegung 1c x = p 2 h 2 usw., endlich ist 
« =PlP2lh ■■■Pn. 
Eine zweite Zerlegung in ein Product von Primzahlen 
kann es nicht geben, denn andernfalls müfste das Product p x p 2 p 3 . . ,p n 
und in diesem ein Factor z. B. p x durch q x theilbar sein, doch weil p x 
eine Primzahl ist, folgt p x — q x , und ebenso ist etwa p 2 — q 2 usw. 
Es folgt die vollständige Übereinstimmung und der Satz ist bewiesen. 
Mit Hilfe der Zerlegung der aus Primzahlen zusammengesetzten 
Zahlen in ihre Primfactoren gewinnt mau eine neue Lösung der Auf-