IJber den Umfang des Begriffes der analytischen Function. 
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Die Reihen, die aber den letzten (n -f- m) Gleichungen genügen, 
werden offenbar gleich. Setzt man daher 
h -f" ^2 “h ' • ' t m — t, ~h ^2 4“ • ■ * “h £«+« = £> 
so dafs Ix = —_|y m wird, so reducirt sich das letzte System auf die 
einzige Gleichung 
l = (n -f m) y t -f {n -f m) g Q-J 1 = 0 
1—— 
r 
0t * er t2 r{n-\-m)yt + r 2 £ . r 2 (n + m)y't __ „ 
{n m) g + t * x (n '-\-m) g-{-r ’ 
und weil £ in der Umgebung der Stelle t = 0 in eine convergente 
Potenzreihe entwickelt werden kann, müssen auch die (n m) Po 
tenzreihen 
Xx CLx } t'i > • ■ • tm) 
einen gemeinsamen Convergenzbereich besitzen, was zu zeigen war.— 
Indem die Gröfsen t^ als lineare Functionen der Gröfsen ein 
geführt waren, entspricht nicht allein jedem Werthesysteme aus dem 
gemeinsamen Convergenzbereiche der gefundenen Reihen eine bestimmte 
Stelle (xx), sondern es gehört auch zu jedem dieser Werthesysteme 
x x , x 2 , . . . x n + m eine bestimmte Stelle (t). Ist (cc t , a 2 , . . . cc m ) eine 
Stelle des gemeinsamen Giltigkeitsbereiches der Reihen ^(i,, t 2 , 
welcher die Stelle {a x , a 2 ', . . . entspricht, so existiren auch 
(n -}- in) convergente Reihen 
xx — a’x = %{t x ,t 2 , . . . t m |(a)) (A = 1, 2, . . . » -f w), 
und wenn m der neuen Reihen ^ die Bedingung erfüllen, dafs eine 
der Determinanten m Xer Ordnung aus der Matrix 
UJ 
V dt m ) 
z. B. die aus den letzten m Verticalreihen gebildete nicht verschwindet, 
so kann man die in Gröfsen t^ — a^ durch Potenzreihen in den in 
Gröfsen % n+fl = x n+/x — dn+p (g = 1,2,... m) darstellen und die 
Substitution dieser Reihen in die n übrigen gibt n gleichzeitig conver 
gente Potenzreiheu: 
Xy (Xy b i' 1) Xu | ‘2 , ■ . • Xyi j m | i d'n-\-2 f • • • ^n-j-m) 
(v = 1, 2, . . . n). — 
Wir wissen bereits, dafs im Falle einer Gleichung 
G {X\ , X 2 , . . . X n -^.nij — 0,