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Viertes Capitel. I. Abschnitt.
aus welcher für x i eine Potenzreihe
Xj 1 — p i (_XX^ , . . . X n -^. m CI^ j «3 ) • . . dn.j'-rn)
entstammt sein mag, alle in einer gewissen Umgebung der Stelle
{a x , a 2 , . . . a n + m ) liegenden Stellen, welche dem durch die Gleichung
definirten Gebilde augehören, aus der Potenzreihe hervorgehen. Dieser
Satz gilt auch, wenn n Gleichungen mit n -f- m Variabein gegeben
sind und an einer Stelle (a) n Potenzreihen
Xy Cl v pr , X n -^-2) • • • Xn-f-m | «*+l j Cln^-2 j • • • dn-\-ni)
existiren, welche diesen Gleichungen genügen.
Weil dann die Determinante
Ai >
A12 1 • •
• A,
A»,
A.jo 1 • •
. A.
An, 1 j
A n , 2> •
.. A n
von Null verschieden sein mufs, gibt es gewifs eine Gröfse A tjV ,
welche nicht verschwindet, z. B. Ä n . Entwickelt man dann zunächst
aus der Gleichung:
■Ai £i +-^12^2 H HA ,n-\-m ^>n-\-m —(~ (bi > ^2 ? • • • %n-\-tn)l,2 ~J“ ' * ’ 0
als eine Potenzreihe in den Variabein | 2 ,
Pl (&2, ^31 • • • in+m)
und substituirt dieselbe in die übrigen n—1 Gleichungen, so entsteht
ein System :
A22Í2 + ‘ ‘
"P A 2 ,n-f-m “p ^2(^22 ‘ •
• I.+») = 0
AA + • •
”P -A,ii+ Wl % n -\-m ~p %‘i (^2> *
• ■ ?,+,.) = 0
(a)
A n ,2 £2 ~P ‘
‘ ' "p A n, n-\-m b n-\-m ¡ Xn (p ) " 1
■ • £«-)-?/!) === H )
welches dieselbe Behandlung zulälst wie das gegebene, wenn nur eine
Determinante (n — l) ter Ordnung mit der Matrix
A-2 • • • -A,n-fm
AL
AL
L »,2* • • -¿T«, tt-J-m
von Null verschieden ist. Bemerkt man, dafs die Elemente der aus
den ersten {n — 1) Verticalreihen gebildeten Determinante gefunden
werden, indem man den Ausdruck
£1 — a\ (A2
>2 ~P ’ ' " "P ^n+m)
in den Gleichungen