Líber den Umfang des Begriffes der analytischen Function. 
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ohne constantes Glied ein, so entstehen die Reihen 
%X Ci — ^ (r 1 , T 2 , . • . T m | {ßfl)'). 
Setzt man schließlich r^ — ß iU — u^, so folgt die frühere Form 
XX — Cl = («, , u 2 , . . . Um), 
und dieses Element coincidirt mit dem ersten in der Umgehung von 
(cx). Die somit anstatt t^ eingeführten Reihen 
tfi = <Xfi ~}~ ))fi (u^ , ily } • U m ) 
haben aber nothwendig die Eigentümlichkeit, dafs die Determinante 
dpt 
dpi 
dpt 
du t ’ 
du 2 ’ 
’ du m 
dPm 
d Pm 
dPm 
dui ’ 
du 2 ’ 
an der Stelle u x = u 2 = • • • == u m — 0 nicht verschwindet. — 
Stellt man unabhängig von den ursprünglichen Gleichungen 6r„ = 0 
als Definition eines monogeneu analytischen Gebildes die Gesammtheit 
der durch ein Element: 
Xx (%X — > ^2 ) * ' ■ — 1 y 2 , . . . n —(- m) 
und seiner Fortsetzungen gegebenen Wertliesysteme auf, so hat man 
zu zeigen, dafs dieses Gebilde das durch die n Gleichungen definirte 
umfafst. Nun wissen wir bereits, dafs überall, wo eine der Determi 
nanten aus der Matrix 
dGi 
8G t 
dx x ’ 
d x n+m 
dG n 
dG n 
dx t ’ 
d X n-\-m 
nicht verschwindet, n der Gröfsen x durch Potenzreihen in den übrigen 
m Yariabeln und alle Gröfsen x durch Potenzreihen in m neuen Va 
riabein darstellbar sind. Die Fortsetzungen dieser n Reihen sind aber 
auch Fortsetzungen des Elementes, das nach der Anzahl der unabhän 
gigen Variabein t eines m ter Stufe in dem 2 (n -f- ni)fach ausgedehnten 
Gebiete der (n -(- m) Gröfsen xx genannt wird. 
In der That: wenn die n Reihen 
Xy tty — v(Xn^-1, X n _^_2 , . . ■ Xn^-ru j [Un-\-fi]) 
und das Element 
Xx ax = • •.* 
Biermann, Functionentheorie. 
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