Die Elemente der Arithmetik. 
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Wir nehmen zu jedem einzelnen Elemente, aus denen die ganzen 
Zahlen gebildet sind, neue hinzu, so dafs zwei, drei neue Elemente 
usw. jenes eine vertreten. Bezeichnet man ein Element s n , deren n 
das Grundelement e oder sagen wir hier kurzweg die Einheit e — 1 
Die Gröfse, deren n die Zahl a vertreten, sei mit — as n bezeichnet, 
dann ist 
— -f- — + ' ' ‘ + — (wmal) = a. 
n n ' n v 7 
Es entsteht zunächst die Frage, wie sich die neu definirten Gröfsen, 
die aus der Einheit und einer angebbaren (endlichen) Anzahl von 
„Bruditheilen“ s n der Einheit zusammengesetzt sind, auf dafs sie die 
allgemeine Form 
a 0 “I“ a l £ n, 4~ % 4" ' ’ ‘ 4“ 0>m £n m 
annehmen, die für die ganzen Zahlen aufgestellten ßechnungsopera- 
tionen gestalten. Vor der Beantwortung dieser Frage setzen wir aber 
fest, dafs die neuen Gröfsen den für die ganzen Zahlen gütigen Ver 
knüpfungsregeln Folge leisten sollen. Diese Festsetzung ist gewifs 
zulässig, wenn die Anwendung der genannten Regeln auf die neuen 
Gröfsen keinen Widerspruch zu Tage fördert. 
Beachten wir, dafs der Definition gemäfs 
Vtl VI € m n — 1 
ist, oder die Gleichung 
fmn 4~ £ mn -f" • ’ 4" £ m n (Wi mal) 
“f" s mn "j" £ Tnn 4“ ’ * * 4“ ««« (WUial) 
■m n 
n {m mal) 
besteht, so gibt die Anwendung der Additionsgesetze unmittelbar die 
Gleichungen: 
(m s m n ) n = 1 oder m s m n 
{ns mn )m — 1 oder ne mn ■■ 
) 
•m n 
Darnach kann mau jede gebrochene Zahlcngrofse 
« = «0 4" a \ £ «1 4" ' • * 4“ a rn £n m 
derart trausformireu, dafs sie nur Elemente s n einer Art enthält. In 
der That ist n ein gemeinsames Vielfache der Zahlen n,, n 2 ...n m , 
so zwar dafs 
n m v rn — n 
ist, so wird 
£n fi v fi — V“ £n (i^ — 1) 2 . .. in)