Über den Umfang des Begriffes der analytischen Function. 243
angeben kann, in dessen Convergenzbereiche eine Stelle («?(°)) der Be
schaffenheit liegt, dafs in der Umgebung der zugehörigen Stelle
dieses Element mit den simultanen Fortsetzungen unserer primitiven
Reihen übereinstimmt.
So haben wir an der Hand der Aufgabe, die durch algebraische
Gleichungen definirten Gröfsen als analytische Functionen der unab
hängigen Yariabeln zu erkennen, den Functionsbegriff und den eines
Systems von Functionen zu dem Begriffe des analytischen Gebildes
erweitert, und wenn dieses durch ein Element
•^X Ox ; ^2 J • • ■ ^»0 === 1,2, ... fl —(— fflj
definirt ist, so sind die Potenzreihen einzig und allein der Beschrän
kung zu unterwerfen, dafs eine der Determinanten aus der Matrix
. d ^n+m
dh J ’
dt {
dt m
nicht identisch verschwindet, denn andernfalls könnte zwischen den
Gröfsen Xi kein Zusammenhang bestehen. Wäre z. ß. die aus den
letzten m Yerticalreihen gebildete Determinante identisch Null, so
könnte man niemals t l} t 2 , ... t m nach Potenzreihen von X n +i, avj_ 2 ,
. . . X„+ m entwickeln; und wenn die Gröfsen t niemals durch Potenz
reihen in m der Gröfsen x darzustellen sind, gibt es auch keine Ele
mente der Form:
Xx — ax = i$t 1) (ic (1) , xW, . . . Ä (m )|(a^)),
wo unter den x№ und a^ l) Gröfsen Xx und a^ zu verstehen sind, d. h.
es bestünde zwischen den Gröfsen xx kein Zusammenhang.
Diejenigen Stellen, wo alle Determinanten der genannten Art
verschwinden, sind die singulären Stellen des Gebildes m icv Stufe. Im
Falle das Gebilde durch eine algebraische Gleichung G{y,x) = 0 mit
rationalen Coefficienten definirt ist, sind diese singulären Stellen die
jenigen , wo man zur Darstellung des Gebildes mehrere Elemente oder
Functioneupaare bedarf.
Wir kommen in dem letzten Capitel noch einmal auf das durch
eine irreductible algebraische Gleichung definirte Gebilde m ter Stufe iu
dem Gebiete von m-f-1 Gröfsen zurück, um auch der hier unberück
sichtigt gebliebenen Frage nach der Monogenität eines solchen Gebildes
unsere Aufmerksamkeit zuzuwenden.
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