Über den Umfang des Begriffes der analytischen Function,
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und den ersten m x Ableitungen von x l nach x, den m 2 ersten Ab
leitungen von x 2 nach x, und endlich zwischen den m n ersten Ab
leitungen von x n nach x n in den höchsten Differentialquotienten
algebraische Gleichungen bestehen:
k (®,
rp 'P /V 1
) *¿'2 7 • • • ?
. d * Xn
7 dic 2 ’
dx x d 2 x i
dx 7 dx 1 7
d m nx„
d mi x x
dx mi 7
*n\
n n )
0,
dx dx 2 dx n
deren Coefficienten rationale Functionen der übrigen Gröfsen sind.
Führen wir au Stelle der ersten [m v — 1) Ableitungen:
dx„ d 2 x„
dx dx 2
d m v~ l x v
dx m v~ 1
die neuen Gröfsen:
dxf dx { ™v~ l)
x (2) x iS) __ . • • X (m v> —
v } v dx ’ v
dx
ein und schreiben für x v x^\ so erhalten wir:
+ S* i m v — 1) =2' Wv = M
v—1
Differentialgleichungen erster Ordnung:
/ d d
iv (* ; *<>>, • <■>, 4 2) . • • • *£"•’> -¡¡~
dx[ l)
dx
v - = 0, xW
rv* ' V
dx ’
dx i 2 )
)-
0, ... x^v) % = 0
7 V
dx
i r ^X 5 1 , X 2 ; • • • 5
dx
{y — 1, 2 ... n)
mit Jf abhängigen Gröfsen x^, x^\ . . . (v — 1, 2 .. n) .
Dieses System ersetzen wir allgemeiner durch ein anderes gleicher
Gestalt:
dx | dx 2
dx ’ dx
Wenn die ursprünglichen Gleichungen nicht alle die höchsten in dem
Systeme vorkommenden Differentialquotienten enthalten sollten, so sind
sie nicht unmittelbar auf diese Form zu bringen, doch wird man mit
Hilfe von Differentiationen der gegebenen Gleichungen stets ein System
unserer Art bilden können. Hierauf hat mau aber zu zeigen, dafs die
Functionen, welche diesem Systeme genügen, auch das erste erfüllen
und man wird ausfindig machen müssen, wie sich aus den durch das
neue System bestimmten Functionen diejenigen ableiten lassen, welche