Fünftes Capitel. 
Ableitung der elementaren transcendente!! Functionen einer Variabel!!. 
§ 45. Die Exponentialfunetion. 
Indem wir uns zu der zweiten der zu Beginn des vorigen Capitels 
definirten Aufgaben wenden, nämlich zu der Ermittlung analytischer 
Functionen (einer unabhängigen Yariabeln) von vorgegebener analy 
tisch ausdrückbarer Eigenschaft, nehmen wir stets au, dafs ein Ele 
ment der zu suchenden Function ij = f\x), d. i. eine Potenzreihe mit 
noch unbestimmten Coefficienten 
co 
die vorausgesetzte Eigenschaft innerhalb seines endlichen, wenn auch 
noch so kleinen Convergenzbereiches besitze. Aus der die Eigenschaft 
definirenden analytischen Beziehung werden dann jedesmal Schlüsse 
über die Coefficienten c v zu ziehen und diese zu bestimmen sein. Wenn 
die so gefundene Reihe einen Convergenzbereich besitzt, existirt eine 
analytische Function, von der noch gezeigt werden mufs, dafs ihr in 
dem ganzen Giltigkeitsbereiche die Eigenschaft zukommt, die das pri 
mitive Element in seinem Convergenzbereiche aufweist. 
Für die ganzzahligen Potenzen einer Gröfse a besteht die in der 
Gleichung 
a z 1 a z - — a* lJrZ - 
ausgedrückte Eigenschaft. Wir fragen, ob nicht eine analytische 
Function existirt, welche die hier entlehnte allgemeine Gleichung 
/(*i)-/W = f(*t 4- * 2 ) 
erfüllt, wo und # 2 nicht blos ganzzahlige, sondern beliebige Werthe 
• aus dem Stetigkeitsbereiche der Function sind. 
Wenn eine solche Function f{z) existirt, so mufs sie in der Um 
gebung einer Stelle a in eine Potenzeihe 
00 
zu entwickeln sein und in deren (als endlich vorausgesetztem) Conver 
genzbereiche besteht die Gleichung: