Die Elemente der Arithmetik. 
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Bruchtheilen c und e gebildeten Zahlengröfsen ist, wie wir gleich 
sehen werden, mit Hilfe der Multiplicationsgesetze der aus e zusammen 
gesetzten ganzen Zahlen auszuführen, wenn man nur die Multiplication 
der Grundelemente, also die Producte 
ee, ee', e'e, e’e' 
auszuführen vermag. 
Unter Festsetzung der Permanenz der früheren Verknüpfungs 
regeln setzen wir gleich ee' = e'e. 
Um die genannte Behauptung zu beweisen, zeigen wir, dafs neben 
e 
m 
ee 
mn 
auch 
c e i t. e 
— und - 
mn m n 
e e 
mn 
ist. In der That schliefsen wir z. B. aus den Gleichungen 
m ( e ■ e ’) = (- - + 4 + - • - ((mmal)) 
\m n) \m n 1 m n 1 ‘ m n \ s J ) 
=*( e ~ + -- H (m mal) ) . = e — 
\m m 1 m x ' / n n 
und 
nm • —\ — e ( 4- c 4- ... 4- — (wmal)) = ee', 
\m n) \n * n 1 'w v ’ 
dafs 
e e' ec' ee' e e' 
m n mn nm n m 
wird. # Ebenso gilt 
e e' _ e'e' e'e' e' e 
m n mn nm n m 
Wir müssen daher zur Multiplication unserer Zahlengröfsen nur noch 
die Regeln für die Multiplication der Grundelemente kennen lernen. 
Wegen e -j- e' — 0 ist 
a — a -f- e -f- e' und ae = ae + e + e\ 
Die Multiplication der ersten Gleichung mit e führt auf 
ae == ae -f- ee + e'e, 
und wenn ee,= e festgesetzt wird, folgt 
e'e = ee' = e'.*) 
Weil ferner die Gleichungen 
ae' — ae' -f- e -f- c', ae' — ae' -{- ee' -f- e'e' 
bestehen, wird 
e'e' = e. 
Sind nun a und h zwei aus e und e', £ n und s' n zusammengesetzte 
Zahlengröfsen, so besteht die Multiplication von a mit h darin, dafs 
man eine dritte Zahlengröfse aus a und der entgegengesetzten ae' und 
: ) Es ist entweder ee = e oder e'e' = e ; eine Gleichung mufs festgesetzt sein.