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Erstes Capitel.
den Bruchtheilen beider so bildet, wie h aus den Grundelementen e und
e und deren Bruchtheilen zusammengesetzt ist.
Die Subtraction positiver d. h. aus e und den Bruchtheilen ge
bildeten Zahlengröfsen ist mit Hilfe der aus den entgegengesetzten
Elementen e' und s n gebildeten negativen Zahlengröfsen stets aus
führbar, denn die Zahlengrofse, welche zu h addirt a gibt, ist offen
bar a -|- he'.
Diese Gröfse war früher mit a — h bezeichnet, daher schreiben wir
a — h = a -f- he'
und nunmehr für he' einfach — h, für e — e und nennen e = — 1
die negative Einheit.
Die der positiven Gröfse h oder he entgegengesetzte negative ist
nun — h — — he — he' und in dieser heilst h der absolute Betrog von
— h. — Will man anzeigen, dafs eine Gröfse c nach gehöriger Trans
formation nur positive Elemente enthält, so setzt man derselben das
Zeichen -f- voraus. Ist h ganzzahlig aus — 1 zusammengesetzt, so
heilst diese Gröfse eine negative ganze Zahl. Ihr absoluter Betrag
— h wird mit | h \ bezeichnet.
Die Subtraction negativer Gröfsen ist jetzt durch Addition der
entgegengesetzten positiven Gröfsen zu ersetzen.
Die Multiplication einer Zahlengrofse a mit Null gibt Null, denn
es ist
a (m -f- (— m)) = am -J- a ( —m) — a {m — m) — am — am = 0 ,
und umgekehrt folgt aus ah = 0, dafs ein Factor Null ist.
Die Division besteht wieder in der Ermittelung von h, wenn in
a — e a und e gegeben sind.
Die Rechnungsregeln folgen aus der Definition der Rechnungsarten.
Ein Product ah — c ändert sich, sobald h andere und andere
Werthe erhält, aufser wenn a = 0 ist. Umgekehrt ist h stets bestimmt,
aufser in eben diesem Falle a — 0. Ist neben a auch c gleich Null,
so kann man h beliebig wählen und darum ist ~ keine bestimmte
Zahlengrofse. Ebenso wenig hat 4- einen bestimmten Werth, denn wäre
E die bestimmte Gröfse, welche mit Null multiplicirt c gibt, so rnüfste
sein oder die bestimmte Gröfse c wäre unbestimmt. Dieser Wider
spruch nöthigt uns, die Division durch Null als unzulässig zu erklären
und auszuschliefsen. —
Es ist nun gezeigt, dafs die für die ganzen Zahlen aufgestellten
Rechnungsarten mit den positiven und negativen ganzen und ge-