Ableitung der elementaren transcendenten Functionen einer Variabeln. 297 
Bei der hier genannten Linie, welche der von der Stelle Null 
nach — oo führenden Unstetigkeitslinie des Zweiges des Logarithmus 
entspricht, haben wir einer grofsen Willkür Raum gelassen, da man 
— wie früher hervorgehoben wurde — auch die ünstetigkeitslinie des 
Logarithmus verschiedenartig wählen kann. 
Die Umkehrungsfunction von 
y — sin x = — e~ xi ), 
für die wir schon ein Element aufgestellt haben, läfst sich wegen der 
Gleichung 
e 2ix — 2iy — 1 = 0 
durch die Formel 
x = are sin y — — i log (iy + j/l — y 2 ) 
definiren. 
Da wir die algebraische Function iy + j/l — y l und den Loga 
rithmus vollständig kennen gelernt haben, sind wir auch im Stande, 
die neue Function are sin y zu untersuchen. Wir stehen davon ab 
und verweisen auf eine ausführliche Darlegung ihrer Eigenschaften in 
Thomae’s Functionentheorie auf Seite 102 if, 
§ 49. Der Cosinus und Sinus ganzzahliger Vielfacher 
des Argumentes. 
Wir wollen an die Untersuchung der allgemeinen Potenz die Ab 
leitung einiger späterhin nothwendiger Ausdrücke für 
cos nx und sin nx 
anschliefsen. 
Da 
e nxi — cos nx _[_ ¿ si u x — (jßXiy — ( CO s X -¡- Í sin x) n 
e nxi __ cos nx l s J n x __ Xiyi _ ^ cos x — ¿ sin x) n 
ist, wird 
cos nx — ^ ((cos x -f- i sin x) n -f- (cos x — i sin x) n ) 
sin nx == ¿((cos x -f- i sin x) n — (cos x — i sin x) n ). 
Bezeichnet n irgend eine endliche Zahlengröfse, so kann man COhn ' v 
cos” x 
und sm nx in dem durch die Bedingung |tg x\ <1 definirteu Bereiche 
cosӒc 
um die Stelle x — 0 in eine Potenzreihe nach Potenzen von tg x ent 
wickeln, denn daselbst wird man die in den Ausdrücken: 
COS nx = Y cos”íc((1 -f- i tg x) n -f- (1 — i tg x) n ) 
sin nx — ¿cos n ír((l -j- i tg x) n — (l — i tg x) n )