Ableitung der elementaren transcendenten Functionen einer Yariabeln. 299
CV) durch ( l )
so kann man den Coefficienten von (—1)^ sin 2 '* 1 « in dem Ausdrucke
für cos 2vx auf die folgende Form bringen:
n{n— 2) ... {n— 2fi-f-2)
Ï.3.. 7ún—i —
(2ft —1) (2ft — 3) ...3.1 . (2fi — l)(2fi — 3)...S n — 1
*T
2.4 ... (2ft — 2) 2
(2fi — 1 ) (2fi — 3)... 5 (n— l)(n —8)
2.4... (2 fi -4)
2.4
2.4 ... (2fi —2) 2
(n—1) (w — 3)... (n — 2 fi —J— 1)
2.4... 2 ft
und wenn man in der Klammergröfse für (2ft — 1) a und für (« — 1)
h schreibt, erscheint diese in der übersichtlichen Gestalt:
a{a—2)... [a — 2fi +2) . a{a— 2). ..(a—2ft-f-4) h . a{a—2) 2fi-f6) b[b—2)
“ ‘ 2.4 ... (2 fi — 2) 2 .
2.4... 2(i 1 2.4 ... (2 fi — 2) 2 1 2.4... (2fi —4)
. a b{b~ 2)...(& — 2 fi —(— 4) . &(& — 2)... (ft — 2 fi-J-2)
*1 2 6 > /1 io» ”1
2.4
+
2.4... (2 fi — 2) 1 • 2.4...2fi
(a+ & — 2)... (a-f&— 2 fi -|-2)
2.4 ... 2fi
Die Anwendung dieser von Cauchy benützten Hilfsformel*), die man
leicht bestätigen kann, führt auf die Darstellungen:
cos nx — cos2«« = 1 — ^sin 2 «-j———-sin 4 « -sin 6 «
+ ••• + (-l) 2
4! 6!
Y n 2 {n 2 —2 2 )...(ri 2 —(n—2) 2 )
nl
sm“ «
cosn« = cos(2v-f-l)« = cos«
1 - m‘»-
... + (- ifr -(«-2)') sin ,_ 1
. 0 fn ■ n(n 2 —2 2 ) . o I n{n 2 —2 2 )(n 2 — 4 2 ) • r
smw« = sin 2«« — cos« -sin« —-,—-sin 4 «-)- 5 , 'sir:
]
+ (-l)
— n{n*— 2 2 ) (ot 2 — 4 2 )... (w 2 — (n — 2) 2 ) o;Tin _ 1
(w — 1)!
sin" -1 «
. /C v . /1 • n(n z —l 2 ) . .
sin«« = sm(2v-|-l)«= t sin« —J—-sin 4 «4
l yPn(n*-i 2 ) (« 2 - 3 2 )... (n* - (n - 2) 2 ) sinre ^ _
Setzt man an Stelle des Argumentes « — «) ein und be
merkt, dais
n(n 2 -l 2 )(n 2 — 3 2 ) . 5
5!
sm J «-
*) Siebe Algebraische Analysis (deutsche Ausgabe von C. Itzigsohu)
Cap. 4 § 3.
