Ableitung der elementaren transcendenten Functionen einer Y ariabeln. 301 
nicht unter jede angebbare Gröfse herabsinken, denn andernfalls hätte 
die Potenzreibe keinen Convergenzbereich. 
Bezeichnet mau die durch das angegebene Element definirte ana 
lytische Function mit 
y = F{a,ß, y, x), 
so wird zunächst bei unendlich grofsem \ß\ 
e* = F(l,ß, 
denn der Coefficient von , nämlich (ß (ß - 1}... (ß -j- v — 1) ß~ r ) 
wird Eins, Ferner ist 
log (1 x) = xF{ 1, 1,2, —x) 
(] -f- x ) a = F(—a, ß, ß, —x) 
usw. Die Frage nach Functionen bestimmter Art, die in F{a,ß,y,x) 
enthalten sind, z. ß. den algebraischen Functionen, und eine solche 
ist ja bereits bei geeignetem a in (1 —{— a?)“ angeführt, stellt man pas 
send dort, wo F{a, ß,y,x) durch eine übersichtliche Functionalglei- 
chung definirt ist, in die vielleicht auch die Ableitungen von y nach 
x eintreten. Man wird also zur Untersuchung der Function F{a,ß,y,x) 
besser daran thun, wenn man an der Hand des Elementes zunächst 
die Differentialgleichung aufsucht, welcher dieselbe genügt. 
Bildet man die Ableitungen: 
di — a ~~ F( a + 1 > ß + 1 f 7 +17 x ) = a y F\ 
d*y 
dx 2 
a(«-f-1) 
ß(ß+l) 
y(y+i) 
F(cc-f-2, ß-f-2, y-j-2, x) = «(« + 1) 
und allgemein: 
= «(«+!)• :1 ), jjr+fjfi) F ( a + P + y + *)> 
so findet man leicht die von Gaufs angegebene Beziehung zwischen 
F, F t und F 2 bestätigt: 
y{y-\-\)F—{y-\-V) {y-(cc + ß+l)x)F i -{a-{-l){ß+l)x{l-x)F 2 = 0 
und wegen dieser Identität besteht für y die Differentialgleichung: 
dUj 
d x 2 
+ 
_(« ±_ß + 1) « dy 
íc(1 — x) dx 
dy 
a ß 
x (1 — x) 
V = 
die nach der Substitution ^ = y t durch das canonische System zu 
ersetzen ist: 
dx 
dt = x ^- x )> = x{l — x)y { , 
= 0 - (« + ß 4- ] ) x )yi — a ßy> 
dt