Die Elemente der Arithmetik.
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brochenen Zahlengröfsen, die unter dem Namen der rationalen Zahlen-
yröfsen zusaramengefafst werden, mit alleiniger Ausnahme der Division
durch Null widerspruchslos durchzuführen sind. Wir konnten die Rech
nungsregeln für die neuen Gröfsen ableiten und darum sind wir —
wie gleich erklärt werden soll — berechtigt, dieselben fernerhin in die
Rechnung aufzunehmen.
Wenn wir später irgendwo eine Aufgabe in den rationalen Zah
lengröfsen nicht lösen können, wie die Subtraction ganzer Zahlen in
eben diesen Gröfsen nicht durchführbar ist, sofern der Minuend kleiner
ist als der Subtrahend, oder die Division ganzer Zahlen nicht in ganzen
Zahlen zu bewerkstelligen ist, wenn der Dividend kein Multiplum des
Divisors ist, werden wir neue Gröfsen zu definiren und hierauf den
Vergleich der neuen Gröfsen untereinander und mit den rationalen
vorzunehmen haben. Dabei fordern wir, dafs sie denselben Verknü-
pfungsregeln folgen wie die ganzen Zahlen, und suchen ihre Rech-
uungsregeln, wie z. B, ec' — e eine war-, oder besser wir fragen, ob
und wie sind für die neuen Gröfsen a, h, c... die arithmetischen
Grundoperationen (Addition, Multiplication, Subtraction und Division)
zu definiren, damit a -f- h, ah, a — h, ” Gröfsen derselben Art
bleiben wie a und h selbst, und dafs ferner die in den folgenden Glei
chungen ausgesprochenen Gesetze gelten:
a -j— h = h —(— a, (a -j— &) -|— c = (ft -j- c) -J— h,
ah = ha, (ah)c = {ae)h, a (b -f- c) = ah -f- ac,
{a — h) -\- h = a, ^-b — a.
Die Existenzberechtigung neuer Gröfsen in der Rechnung werden
wir wie früher blos darin suchen, dafs sich von ihnen die Rechnungs
operationen in der nun bestimmten Weise widerspruchslos ausführen
lassen.
Das bisherige und das weiterhin zu gewinnende Gröfsensystem für
die Rechnung ist und wird auf einer — soweit wir hier sehen —
allerdings bestimmten aber nur formalen Grundlage aufgebaut. Von
vornherein besteht ja kein zwingender Grund, von neu definirten
Gröfsen zu verlangen, dafs sie den Rechnungsgesetzen ganzer Zahlen
gehorchen, aber diese (willkürliche) Forderung, die so lange erlaubt
ist, als keine Widersprüche daraus erwachsen, hat eine unentbehrliche
Harmonie in der Mathematik zur Folge. Es bedarf keiner Rechtferti
gung, wenn wir gerade die Permanenz der formalen Gesetze zum
Princip erheben; die Existenzberechtigung der neuen Gröfsen in der
Rechnung ist aber zweifellos, wenn die genannten Forderungen auf
Grund gewählter Definitionen zu erfüllen sind.
Andrerseits wird man aber auch die Definition eines neuen Be-