Sechstes Capitel.
Darstellung der eindeutigen analytischen Functionen einer
Veränderlichen.
§ 50. Einleitung.
Darstellung der ganzen transcendenten Function durch Producte.
Darstellung jeder Function mit einer wesentlich singulären Stelle.
Eine eindeutige analytische Function einer Veränderlichen mit
blos aufserwesentlich singulären Stellen war stets als Quotient ganzer
rationaler Functionen darstellbar; eine eindeutige Function, die im
Endlichen überall regulären Verhaltens ist und die eiuzige (wesentlich)
singuläre Stelle oo hat, konnte man durch eine beständig convergente
Potenzreihe definiren usw.
Darnach liegt die Frage nahe, ob man auch die arithmetische Ab
hängigkeit des Werthes einer eindeutigen Function von dem Werthe
der Variabein angeben kann, wenn für die Function singuläre Stellen
in beliebiger Anzahl vorgelegt sind.
Diese Frage ist für die neuere Functionentheorie charakteristisch,
indem sie zwischen dem Euler'sehen Functionenbegriff, der mit dem
Begriff des arithmetischen Ausdruckes zusammenfällt, und dem von
Cauchy auf die Stetigkeit gestützten Begriff einer Function vermit
telnd eintritt; sie definirt die analytische Function durch ein System in
einander fortsetzbarer Potenzreihen und lehrt hinterher, wie man den
arithmetischen Ausdruck einer solchen Function einheitlich bestimmt,
wenn ihre ünstetigkeitsstellen gegeben sind.
Die Grundlage für die Beantwortung der betreffs der eindeutigen
Function einer Variabein gestellten Aufgabe bietet die Darstellung der
ganzen Function mit unenendlich vielen Nullstellen als Product von
Factoreu, die nur an einer Stelle verschwinden und die Darstellung
einer Function mit unendlich vielen singuläreii Stellen, die eine Grenz
stelle c haben, als Summe von Functionen, deren jede aufser au der
hier auftretenden wesentlich singulären Stelle c nur an einer der ge
gebenen Stellen irregulären Verhaltens ist. —