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Sechstes Capitel. 
Bevor wir aber die Bestimmung einer ganzen rationalen Function 
mit vorgeschriebenen Nullstellen a { , a 2 , . . . a n und einem bestimmten 
Werthe A an einer von den a v verschiedenen Stellen x 0 in der Form 
n 
JTJor — a v ) 
G{x) = A-'^_ 
/7-0 -«,) 
V~1 
auf den Fall einer ganzen transcendenten Function ausdehnen, für die 
unendlich viele Nullstellen vorgegeben sind, müssen wir einige Be 
merkungen über unendliche Producte analytischer Functionen f v {x) 
vorausschicken. 
Angenommen, dafs jede der Functionen f v {x) auf die Form ge 
bracht sei: 
1 -f q>*{x), 
so wissen wir, dafs 
CO 
+ ?*(«)) 
V— I 
nur dann an einer Stelle x 0 convergirt, wenn auch 
2 
endlich ist. Damit also das Product eine Bedeutung habe, ist noth- 
wendig, dafs die Functionen cp v [x) einen gemeinsamen Convergeuz- 
bereich besitzen und cp v {x) wenigstens 
in einem Theile dieses ße- 
reiches convergirt. Wir sind aber nicht im Stande zu zeigen, dafs 
das Product eine analytische Function darstellt, wenn wir nicht auch 
co 
annehmen, dafs diese Summe ^ q> v {x) in einem Bereiche {A) gleich- 
mäfsig convergirt. Dann aber convergirt das Product gleichmäfsig, 
ist daselbst stetig und definirt eine analytische Function; d. h. man 
kann dann nach Annahme einer Gröfse £ eine solche ganze Zahl n 
finden, dafs der absolute Betrag des Productes 
OT + m' 
YJfvix) 
cc 
und 17«*) 
für jedes m und ein m > n und jede Stelle des Bereiches (A) von 
Eins um weniger abweicht als e anzeigt, und ferner wird F(x) in ge 
wisser Nähe jeder in dem Bereiche (A) liegenden Stelle a der Bedingung 
\F{x) — F{a) \ < £ 
genügen und endlich durch eine Potenzreihe darstellbar sein.