Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen.
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CO
Obwohl die gleichmäfsige Convergenz einer Reihe 2’ cp r ix) noch
nicht die der unbedingten Convergenz nach sich zieht, womit nicht
behauptet ist, dafs wirklich gleichmäisig convergente Reihen existiren,
die nicht auch unbedingt convergeut sind, setzen wir bei dem Beweise
voraus, dais diese Reihe gleichmäisig und unbedingt convergiré.
Dann kann man ein n so angeben, dais nicht allein für jedes
m > n
co
co
< d, sondern auch2j \<pv{x)\ < d
wird. Bezeichnet man hierauf
co
co
1 + <P*№) = 1 + S m und jTJci + \<pv{x) i ) = 1 + S,n
(wo die I(p v {x)j < 1 seien), so wird
co
co
I J ( 1 + <Pv {%)) — |1 "f - Sm 1 5^ 1 “h I Sm I 1 "j~ $m ==
und man sieht, dafs unser Product wirklich unbedingt und gleich
mäßig convergirt. Dasselbe definirt aber auch eine analytische Func
tion, denn wenn mau
1_|-<p v { x ) durch
= eiPvW-V'r (®) = gTjog(l+<f v {x))
ersetzt und beachtet, dafs keine der Functionen i> r (x) in dem Bereiche
(Ä) einen gewissen angebbaren Betrag g überschreitet, so ist
co
und weil Z cp r (x) eine analytische Function darstellt, mufs auch
e
eine analytische Function definiren und darstellen.
Nach diesen Vorbemerkungen denken wir eine ganze transcendente
Function gegeben, die unendlich viele Nullstellen besitzt (wie z. B.
sin x oder cos x) .
Innerhalb eines endlichen Bereiches kann nur eine endliche An
zahl von Nullstelleu liegen, — wobei wir eine Nullstelle als n fach
Bi er mann, Bunctionentheorio, 20