Darstellung der eiudeut. analyt. Functionen einer Veränderlichen, 
durch eine Potenzreihe 
$ («, n+ 1) 
dar, indem man die gleichnamigen Glieder zusammenzieht, so werden 
in dem Bereiche \x\ < \n i \ gewifs alle Potenzreiheu 
{v= 1, '2, + 
couvergiren, und zwar gilt daselbst die Beziehung: 
*(*« 1)- *(«.-+1) = 2 (ir + "’ 
doch weil die Primfunction Ei-?-, m v ^j durch die Reihe 
—"v' 1 (~\ 
e ^ =1 
dargestellt wird, kann man 
q— $(*, i) + ¥'(®, »+n 
u 
n* 
m. 
oder 
G -^(x, 1) 
n 
-üH-k’ m ’ 
v = 1 \ v 
ß—$ (#i i) 
setzen. Da mau hierin jede Function E als ganze Function in eine 
beständig convergente Reihe entwickeln kann und der Factor 
er <$(x, n+i) j n j em Bereiche 
*71+1 
< 1 durch eine convergente Reihe 
']$'{x, w-f-1) zu ersetzen ist, so wird die ganze rechte Seite in eine 
innerhalb dieses Bereiches convergente Potenzreihe n-\-\) zu 
transformiren sein. Der Ausdruck g—$(*. i) ist zunächst nur durch eine 
x 
in dem Bereiche 
< 1 convergente Potenzreihe 1) zu er- 
setzen; doch weil diese Reihe daselbst mit der Reihe S${x,n-f-1) 
übereinstimmt, mufs sie jedenfalls in der Umgebung der Stelle Null, wo 
1 £c | < | a w +, 1 ist, couvergiren. Da wir endlich n so grofs annehmen können 
als wir nur immer wollen, so wird die Reihe 1) für jeden noch 
so grofsen Werth von x convergiren und eine ganze Function G{x) 
defmiren. Diese Function besitzt zufolge der Gleichung: 
— lim $ (a, n+1) 
die Eigenschaft, an der Stelle a v mit der vorgeschriebenen Ordnungs 
zahl n v zu verschwinden, den das Product enthält den Factor: 
Wir bemerken noch, dais