’, c 5.
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Sechstes Capitel.
CO CD
m v +/¿
lim Sß(* M-(-l) = Um *5! ^ - V * ( x V
gleich Null zu setzen ist, und sagen: Die gegebene Reihe von Stellen
Oj| y &2 y • • • d'v y • • •
ist die Reihe von Nullstellen derjenigen ganzen Function, welche durch
Entwicklung des Ausdruckes
CO co
V V Wy (» V
r=l U=I + VW
in eine Potenzreihe nach o; entsteht, oder durch das unendliche Pro
duct
dargestellt wird. Multiplicirt man 6r(;r) noch mit a;”°, so geht eine
ganze Function hervor, die aufser den Nullstellen a v noch au der
Stelle Null w 0 mal verschwindet.
Man hann also stets eine ganze iFunction mit vorgeschriebenen
Nullstellen angeben, aber schon darum, weil die ganzen Zahlen m v
gewissermafsen willkürlich geblieben sind, ist die Function nicht ein
deutig bestimmt, und ferner ist das Product einer ersten ganzen Func
tion G {) {x) der verlangten Art und einer im Endlichen nicht verschwin
denden ganzen Function
ßffo (x)
— wo g 0 (x) selbst eine ganze Function bezeichnet — eine Function
derselben Art.
Aber umgekehrt ist jede ganze Function mit den gegebenen Null
stellen in der Form
m v
G{x) - e(»)eM») = (l - e”Ji'
darstellbar, denn der Quotient zweier ganzer Functionen mit denselben
n v fachen Nullstelleu ist eine im Endlichen nirgends verschwindende
und durchaus endliche, also ganze Function
G{x)
G 0 (x)
= G x {x),
die stets auf die Form e g °№ gebracht werden kann.
In der That: bildet man die sogenannte logarithmische Ableitung
von 6r, (x), d. i.
d log G t (,x)
dx
1 d Gj
G t dx ’