Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen.
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um
X \”‘v n r
v = n+1
werden wir das auch behaupten können, wenn die Summe der abso-
i Beträgt
Da aber
luten Beträge der Summanden endlich ist.
| ^ | "'C ! 1 ; | dn-\-v X | | O-n+v | \%\ 0
ist, so wird
2 C °y I X_ ™ v n v 1 IX
|«r \ a v~ X \ \ a v
X 1 m v n v
aj — \x\
1 / X \ n ‘v
v=n-\-1
r=n-f-l
/ X_
Z a v \ a r
vr=r+l
Heifst N wieder die gröbste der ganzen Zahlen n n + r und ist die kleinste
der Gröfsen 1
K, so wird die letzte Summe kleiner als
N "*^1 I 1 / X \™v
~K Z UT
und damit ist die Behauptung der Voraussetzung zufolge bewiesen.
Es ist auch zu sehen, dafs in eben demselben Bereiche gleich
zeitig die neuen Summen
'S 1 / a L\™ v Uv
¿QA a v) [ x ~ a v) k
gleichzeitig convergiren, wenn Ti eine ganze Zahl bezeichnet. Denn
nennt man die kleinste der Gröfsen q v p, so ist an jeder Stelle un
seres Bereiches
1 a v — x\ > q
und deshalb
X
™v n v 1
X \™ v
n
V
a v
\%~X\ k Q k ~ l
a v 1
\a v — x |
womit der Satz einleuchtet.
Läfst sich den von Null verschiedenen Nullstellen a v unserer
ganzen Function G {) [x) eine ganze Zahl m -f- 1 so zuordnen, dafs
oo
2\h
m+1
endlich ist, so kann man offenbar allen Zahlen m v den Werth m bei
legen, denn
IJL
{ X \™v
| a v
W)
m-\-1
wird für jeden endlichen Werth von x endlich bleiben. Dann con
vergiren aber auch die Summen
V — und y] ^.
in dem früher genannten Bereiche gleichmäfsig.