Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen.
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i n.
zu verlassen, so kann das stets in solcher Weise geschehen, dafs diese
Summe und auch die der absoluten Beträge der Summanden nach
Null convergirt.
Wir haben nur nöthig, die zweite Behauptung zu erweisen. Man
kann stets ein v — n so angeben, dafs
kleiner wird als eine beliebig kleine Gröfse 8, und weil man in der
somit bestehenden Ungleichung:
n.
GO
n,
+ <?
'v
\ a v\ K~ «|
für die Summe der endlichen Anzahl von Gliedern nach Annahme
einer kleinen Gröfse e eine positive Gröfse £ so bestimmen kann, dafs
für jedes x von gröfserem Betrage als £ die Summe kleiner wird als
e, so convergirt die genannte Summe für unendlich wachsende Werthe
von x unseres Bereiches nach Null.
Daraus folgt, dafs die logarithmische Ableitung von Cr 0 (x) nach
Multiplication mit xr m
co
mit unendlich wachsendem x nach Null convergirt.
o
Dasselbe gilt auch, wenn die ganze Function m ten Ranges einen
äufseren Factor ebesitzt, in welchem die ganze rationale Function
g{x) den m ten Grad nicht übersteigt.
Zur Charakterisirung der Convergenz der in Rede stehenden
Summe nach Null, wenn x ohne eine singuläre Stelle a v zu über
schreiten, nach oo übergeht, mag hervorgehoben werden, dafs das
Product
GO
OO
unter gleichen Umständen divergirt, indem nämlich die Summe:
w,
'v
und umsomehr die Summe der absoluten Beträge
unendlich wird.
x
Biermanu, Functionentheorie.
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