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Sechstes Capitel. 
mit wachsendem x nach Null, aber 
V 
nach Unendlich convergiren, und dann kann man sich überzeugen, dafs 
m d lQ g G o 
auch die Quotienten 
Gf +i) {x) ^ 
gleichzeitig mit X' 
dx 
x m G^\x) 
nach Null convergiren, wo G ( ^(x) die g le Ableitung von G 0 {x) be 
zeichnet. Nun ist jede Ableitung einer ganzen Function wieder eine 
solche, und wenn man daher zeigen kann, dafs eine an die Eigen 
schaften 
geknüpfte ganze Function vom m ten Range sein mufs, hat mau auch 
gezeigt, dafs jede Ableitung einer ganzen Function des m ton Ranges 
von demselben Range m ist. 
Man sieht aber leicht, dafs der Rang m einer ganzen Function 
G{x), welche die genannten Eigenschaften besitzt und deren zugeord 
nete Zahlen m v höchstens den Werth m erhalten, nicht gröfser ode; 
kleiner sein kann als m, weil im ersten Falle 
co 
nicht nach Null convergiren und in dem zweiten Falle die zweite der 
oben genannten Bedingungen verletzt werden würde. 
Da die Zahlen m v aber auch nicht in’s Unendliche zunehmen 
können, wie z. B. im allgemeinen Falle, wo wir m v — v — 1 setzten, 
ist wirklich G{x) vom m ten Range. In dem äufseren Factor kann G{x) 
natürlich den Grad m nicht übersteigen. 
Sollten wir nunmehr bemerken, dafs 
+ 00 , 
gix) . 1 . y 1 
x ' x 2 ' v[x — v) 
— GO 
für x = 00 nach Null couvergirt, so mufs der äufsere Factor in dem 
Producte für sin nx die Form 
besitzen. Nun ist