Die Elemente der Arithmetik. 
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Wiederholung zu einem Reste r m ~ i < cc gelangen und kann a als 
Summe 
ca m -f- c, a m ~ 1 + • • • + Cm-l« + r m-1 (1) 
darstellen, in der c, c,, ... der Gröfsenreihe 
0, 1,... a — 1 
entnommen sind. 
Diese Darstellung ist nur auf eine Art möglich; denn setzt man 
auch 
d = d Ci n —{— ¿ly Ci n 1 —j- • • • —(— (l n _ i Ci -}— p n j , 
so ist die Übereinstimmung der beiden Darstellungen leicht erwiesen. 
Da sowohl 
u m < a < als auch «”•<«< 
gilt, ist ja 
a m < a n + l , a n < 
und diese Ungleichungen bestehen nur zusammen, wenn n — m ist. 
Weil ferner 
ca m < a < (c -f- 1) a m , da m a < (ö! -J- I) a m 
ist, mufs 
c <, d -\- 1, also d — c 
sein. Durch dieselben Schlüsse folgt d y = c,, iZ 2 = c 2 , . . . . p,„_x = 
r m _x, q. e. d. 
Nehmen wir nun eine aus der Einheit und deren ßruchtheilen ge 
bildete (positive) rationale Gröfse “ auf, so ist entweder 
a = c () h oder a = c n h -J- r 0 , 
wo von den ganzen Zahlen c 0 und r 0 die letztere kleiner ist als h. Es 
wird also 
T = ° 0 oder c 0 < T < c 0 -f 1. 
Bildet man = oder ar 0 = c,?>-f-r,, wo c, eine ganze Zahl 
aus der Reihe 0, 1, 2, ... a — 1 und 1 < h ist, so wird 
T = c o + v oder c 0 + ^ < c 0 < c 0 + • 
Indem man die Divisionen 
a = c i ül 
h — (, oT h > 
b ’ b 
v 
b 
“ r ° = Cl + 
ar„ r 
n i 
_ = : Cn+1 ~r 
b > 
n-\-l 
ar { 
~b~ 
C 2+ b 
fortsetzt, 
folgt für -y eine Darstellung; 
a 
T 
Biermann, Fmictionentheorie. 
C 0 + 
+ 2 + 
+ 
(2)