d i-
Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 329
Ist m eine ungerade Zahl 2ft-f- 1, so schreibe man statt der
Factoren sin {x + (Je = ft + 1, ft + 2,... 2 ft) sin — x)
und wenn m=2[i ist, setze mau an Stelle von sin (<£+yO sin —#)
= cos x und für
sin (x + >4^)-Bin 7t — x){v= 1, 2, ... ft - 1),
dann geht die obige Gleichung in die folgenden über:
ß
sin mx = sin (2ft -f- i) x = e 9i(x) sin x J^Jj sin — xj sin -f- oej,
ß—i
sin mx — sin 2 fix — e 9i(x) sin x cos x Jf J sin — xj sin -j- xj.
Wenn man ferner die leicht zu verificirende Beziehung:
sin (u -j- v) • sin {u — v) — sin 2 u — sin 2 V
verwendet, erhält man die nachstehenden Darstellungen:
sin mx — sin
iin (2 ft -f- 1) x — e 91 W ■ sin x JJ (sin 2 ~ — sin 2 xj
fi ( siü!
sin mx = sin 2fix — e 9 ^ x) sin x cos x
aus denen mit Hilfe der Reihenentwicklung für sin mx und sin x ab
zulesen ist, dafs c 9 ^ x) und e 9 ^ x) nur Constante C { und C 2
2 ß -f- 1 ri 2 ft
C x
71 X
_ i 2 ft -j- 1
sein können.
Ebenso findet man die Gleichungen:
fl
x — 1
71 l
2 ft
cos mx—cos (2fi-|- \)x—Ccos Jsin (”^ m ~~ — #) sin 21 --■ -f- xj
— Ccos X ^J[(siu 2 Y s ^ u2 x )
- C0S 2 ^ X = G J*J siü (f- 2J W 1 ~ X ) Sin (f + ®)
cos mx
r/. ,3i2Z — 1
• 2 ^
f ( sin 2 —
L V 2 . m
- Slll 2 XJ
und die Constante 0 ist das Reciproke des Productes / J sin ^ 1