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Erstes Capitel. 
wenn die Division einmal ohne Rest r m aufgeht. Weil mit der Glei- 
, ar m-1 
chung —^— = c m 
a m r. 
- J - = « w_1 c t -f- a m ~ 2 Cj + • • • + ac m ~ 1 + 
wird, sieht man, ¿a/s die genannte Darstellung nur möglich ist, wenn 
h allein aus Primfactoren von a zusammengesetzt ist; dann aber gibt 
es für nur eine in Rede stehende Darstellung, in der man auch c 0 
in der früheren Weise ausdrücken kann. 
Sollte keine der Divisionen aufgehen, so gibt es in der Reihe der 
Gröfsen r höchstens h — 1 verschiedene, da nur h — 1 ganze Zahlen 
kleiner als h existiren. Wenn es somit in der Reihe r 0 , r, . . . r 0 -1 
einen wiederkehrenden Werth r m gibt und etwa 
V m -f- k == V k 
ist, so wird 
+ * == fm+k + K == (% == 1, 2 ... Id) 
und folglich wiederholen sich in der Reihe der Gröfsen c m +1, c m + 2 - • • 
die k <[ l) — 1 Gröfsen c m + i, c m +2 • • • c m _p* ohne Ende. 
Die Zahl 
Cm +1«*' 1 + c m . + 2 a k ~ 2 -f • • -j- -f c m+k = C 
heifst die zu gehörige Periode in Bezug auf die Basis a. Ob man 
in dem Falle des Erscheinens einer solchen Periode 
= c » + V + t + ■ • • + ^ + -%k ( 1 + ¿r + 7»+ ■ • • •) 
setzen kann, mufs erst untersucht werden, denn jetzt können wir aus 
der Beschaffenheit unmittelbar aufeinander folgender Gröfsen c nur 
schliefsen, dafs die Ungleichungen 
+ f+t + --- + ^<i< c »+T+^ + --- + 
L n+1 
bestehen. Der absolute Betrag der Differenz der Gröfsen, zwischen 
welchen ~ eingeschlosseu ist, ist gleich und dieser kann bei hin 
länglich grofs gewähltem n kleiner gemacht werden, als ein noch so 
kleines Element s v = — • 
V 
Wir erkennen also, dafs die Darstellung einer positiven rationalen 
Gröfse nicht immer in der Form einer Summe einer endlichen An- 
b 
zahl ganzer Zahlen und Brüche mit den Potenzen einer fest gewählten 
Zahl a als Nenner möglich ist, und bei dem Versuche, diese Dar 
stellung allgemein durchzuführen, begegnen wir Summen mit einer