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Sechstes Capitel. 
Jetzt handelt es sich noch darum, in den Primfunctionen 
die ganzen Zahlen mpassend zu wählen, denn wenn wir auch 
schon wissen, dafs das Product 
V—1 
n 0-i.) 
sm 
eine ganze Function der verlangten Art definirt, sofern die Nullstellen 
w t , w 2 ,... ... 
der Bedingung 
\w v \ <; \w v+1 1 
gemäfs geordnet sind, so braucht dies durchaus nicht die einfachste 
Function zu sein. Wir sehen darum nach, ob es etwa eine ganze 
Zahl m derart gibt, dafs 
m + 1 
I /x co —{— 2 fl' w' 
endlich wird, denn dann existirt eine ganze Function m [en Ranges, 
welche die Nullstellen w besitzt. 
Bemerkt man, dafs man 2n -f- 1 Gröfsen w — 2/ao -j- 2fi' ca' au- 
geben kann, bei denen {i oder ¿a' gleich + n ist, so finden sich im Ganzen 
4 (2n +1) — 4 = 8 n 
Nullstellen, bei denen eine der Gröfsen /a, fi/ den Werth -f-n oder 
— n besitzt. Stellt man alle diese Gröfsen w in der Form n d n dar, so 
kann |d„| niemals kleiner werden als eine endliche Gröfse |d 0 | und 
man sieht, dafs in der Ungleichung: 
yu 
¿-J w 
W+ 1 ^ 8 n 
< KT+ 1 ¿á ^ 
1^0 1’ 
l -f1 S\ X J 
— t n 
die rechte Seite schon für m = 2 endlich ist und umsomehr 
N14 
¿L-i w i 
convergirt. 
Deshalb wird bereits das Product 
ZTO - v) 
-+ 
*(i)’ 
(/U, ' ) 
beständig convergiren. Diese ganze Function bezeichnen wir mit ö{x). 
Die logarithmische Ableitung derselben: 
c № ^ _L j_ ^ ( 1 i_ _L _i_ — JL _i_ ^ 
GiX) X 1 \x — W 1 W 1 W 2 ' X 1 ■ 
// i f 
ferner 
w 2 {x - w) ’