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Sechstes Capitel. 
§ 53. Der Laurent’sehe Satz. 
Wir wenden uns wieder zu allgemein functionentheoretischeu 
Fragen und vor Allem zu dem Laurent’schen Satze, der aussagt, 
dafs man eine eindeutige analytische Function f(x), die in der Um 
gebung jeder Stelle x 0 eines um einen Punkt x — c gelegenen ring 
förmigen Gebietes, wo 
jRj < \x — c\ < B 2 
ist, regulären Verhaltens bleibt, daselbst einheitlich durch eine nach 
positiven und negativen Potenzen von (x — c) fortschreitende Potenz 
reihe 
darstellbar ist. 
Bei dem Beweise*) dieses Satzes kann man voraussetzen, dafs 
c= 0 und f{x) eine ungerade Function sei, die bei der Vertauschung 
von — x mit x ihr Zeichen wechselt, weil jede Function F{x) als 
Summe einer geraden und ungeraden Function 
i im + •*’(- *)). 4 Uw - F (-»)) 
und somit auch als Summe 
/4 0*0 + ®/*(®) 
darzustellen ist, wo /j (x) und f 2 (x) ungerade Functionen bezeichnen. 
Sobald der L a ü r e n t’sche Satz für ungerade Functionen f{x) bewiesen 
ist, gilt er allgemein. 
Wenn wir aufserdem f{x) auf die Form bringen 
\ (/0*0 + f(^j) + Y (f№ ~~ Ky)) 
und für die Functionen f(x) + /(“■) und fix) —/’(/) die verlangte 
Entwicklung beweisen, haben wir wieder alles Nothwendige geleistet. 
Wir setzen ferner fest, dafs die Radien B { und B 2 des Ring 
gebietes, an dessen Stellen sich f{x) regulär verhält, der Bedingung 
genügen 
B t B 2 — 1, 
denn andernfalls führt die Substitution x — j/Bi B 2 V zu e i uer Func 
tion von y } die in einem durch Radien r v und r 2 definirten Gebiete 
regulär ist, für welches r x r 2 — 1 gilt. 
Sollte B x Null oder der gröfsere Radius B 2 unendlich sein, so 
beschränke man das Gebiet zunächst auf ein anderes mit den Radien 
Bf und B 2 und gehe von diesem zu einem neuen, wo rfr 2 = 1 ist. 
*) Entnommen aus Schaeffer’s Abhandlung: Actamathemat. Bd. 4, p. 375.