Die Elemente der Arithmetik. 
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unbeschränkten Anzahl von Elementen e und s n 
für sich behandeln müssen. 
e 
, die wir nun 
n 
§ 6, Einführung der irrationalen Gröfsen. 
Wir ziehen ganz allgemein Gröfsen in den Kreis der Betrachtung, 
die im Gegensatz zu den rationalen Zahlengröfsen durch Zusammen 
setzung einer unbeschränkten Anzahl von (vorderhand blofs positiven) 
Elementen gebildet sind. Begrifflich ist eine solche Gröfse durch 
eine „Reihe“ 
£ n, + £«,+ ••• + £n m 
vollkommen definirt, wenn man angeben kann, welche Elemente und 
wie oft diese in der Reihe auftreteu. 
Wir denken uns durch die Reihe ein Object, eine Gröfse gesetzt, 
fassen die Reihe im Gegensatz zu den Elementen und den Summen 
einer endlichen Anzahl von Elementen als Gröfse für sich auf. 
Es mufs zunächst gezeigt werden, wie man die neuen Gröfsen 
untereinander und mit den rationalen Zahlengröfsen vergleichen kann. 
Die Definition der Gleichheit rationaler Gröfsen, die auf der 
Transformation in gleiche Elemente s v beruhte, ist hier nicht anwend 
bar, weil eine unbeschränkte Anzahl von Transformationen unausführ 
bar ist. Man kann z. ß. die Gleichheit von 
nicht in der früheren Weise darthun, und man mufs eine neue De 
finition der Gleichheit aufsuchen. 
Dazu führt die folgende Definition: Nimmt man aus einer Gröfse 
a der neuen Art eine willkürliche aber beschränkte Anzahl von Ele 
menten heraus, so sagt man, man habe einen Bestandtheil herausge- 
griffen. Darnach heifst h ein Bestandtheil von a, wenn eine beschränkte 
Anzahl von Elementen in a so transformirt werden kann, dafs in a 
nebst h noch andere Elemente Vorkommen. 
Gröfsen der neuen Art, in denen jede Zahl als Bestandtheil ent 
halten ist, heifseu unendlich. Wir schliefsen diese Gröfsen von der 
Betrachtung aus, bemerken aber gelegentlich, dafs eine Gröfse, die 
ein noch so kleines Element unendlich oft enthält, selbst unendlich 
ist. Da man z. B. zeigen kann, dafs