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Sechstes Capitel. 
convergirá für alle Stellen der Umgebung R { des Punktes oo, und 
wenn B i kleiner ist als jede beliebig kleine Gröfse, so stellt diese 
Reibe offenbar eine beständig convergente d. h. ganze Function des 
Argumentes ^ dar, die für -^-=0 verschwindet. Damit ist klar, dafs 
eine eindeutige Function in der Umgebung jeder isolirten singulären 
Stelle c in der Form 
G (¡¡rb)+- <0 
darstellbar ist, wo G eine mit dem Argument verschwindende ganze 
rationale oder transcendente Function bezeichnet, je nachdem die Stelle 
c eine aufserwesentlich oder wesentlich singuläre ist. Sobald c aber 
eine reguläre Stelle ist, mufs G c ) identisch verschwinden. 
§ 54. Das Mittag -Leffler’sehe Theorem. 
Wir gehen nun zur Lösung der zweiten der zu Eingang dieses 
Capitels gestellten Aufgaben, eine eindeutige analytische Function mit 
unendlich vielen vorgegebenen singulären Stellen, die eine Grenzstelle 
haben, als Summe solcher Functionen darzustellen, deren jede auf ser an 
einer Häufungsstelle nur an einer der gegebenen Stellen irregulären Ver 
haltens ist.*) 
Wir zeigen zunächst, indem wir denselben Gang wie bei den 
ganzen Functionen einschlagen, dafs man stets eine eindeutige analy 
tische Function bilden kann, welche überall regulären Verhaltens ist, 
ausgenommen in der Umgebung der von einander verschiedenen 
Stellen 
Ctj j Ct2y • • • Cty y • • • 
mit der einzigen Häufungsstelle x = b, und welche in der Umgebung 
einer Stelle a v in der Form 
G ’{Ff) + *p-(» - 
darstellbar ist, wo G y a ^ eine vorgegebene ganze rationale oder 
transcendente Function des Argumentes —-— bedeutet, die mit —— 
ö x-a, ’ x — a v 
verschwindet. 
Ist die Reihe singulärer Stellen a v endlich, so gibt es keine Grenz 
stelle b und 
- c +lM^) 
*) Siehe Weierstrafs, Functionenlehre S. 53, und Mittag-Leffler, Acta 
mathematica Bd. 4,