Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 349 
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genz der Reihe F v (x) nothwendigen Bedingungen wählen kann 
V — 1 
d. h. entsprechend der Ungleichung: 
Deshalb aber convergirt auch die um eine endliche Anzahl von 
Gliedern F v (x) vermehrte Summe 
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^ F r{x) 
v rzr 1 
in einer Umgebung der Stelle x 0 gleichmäfsig und läfst sich dort in 
eine Potenzreihe 
entwickeln und definirt somit wirklich eine analytische Function F(x). 
Ist keine der Stellen a v und auch h nicht unendlich, so kann 
man diese Function F(x) in der Umgebung x = oo durch eine Reihe 
darstellen; aber in einem Bereiche: 
\x dfi \ <C Qfi i 
der aufser a^ keine andere Stelle o^ enthält, wird die Differenz 
Fix) - F h {x) 
durch eine Poteuzreihe zu definirei! sein, d. h. man hat 
daselbst 
- ^(¡¿¡¡) + «PC*!«*) 
und falls ai = oo ist, 
F(x) = Gi(x) + • 
Darnach besitzt die Function F(x) in der That das genannte Ver 
halten und definirt eine eindeutige analytische Function mit den un 
endlich vielen singulären Stellen a v und h, von denen a v je nach der 
eine aufserwesent- 
Beschaffenheit der ganzen Functionen G v 
lieh oder wesentlich singuläre Stelle sein wird.*) 
Bei der Construction von F(x) blieben noch unendlich viele Gre 
isen gewissermaßen willkürlich, darum gibt es auch unendlich viele 
Functionen der verlangten Art. Die Addition einer überall aufser in 
•) Vergl. auch Casorati, Aggiunte a recenti lavori dei Signori Weierstrafs 
e Mittag-Leffler (Annali di matematica pura ed applicata perie II 3 , tomo X.