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Sechstes Capitel.
h regulären Function zu F(x) — und das mufs eine ganze Function
sein — gibt wieder eine Function derselben Beschaffenheit.
Indem man 6r (—■—-^) noch in eine gleichmäfsig couvergente Summe
ganzer Functionen g v 1 zerlegt und ,F v (aO -f- g v mit <&„(#) be
zeichnet, erscheint auch die neue Function als Summe unendlich vieler
Functionen, deren jede aul'ser h nur eine singuläre Stelle a v besitzt.
Ist umgekehrt eine eindeutige analytische Function F{x) gegeben,
deren Stetigkeitsbereich durch die Stellen
a \ > ( h} a s> • • •
und die Häufungsstelle b begrenzt ist, und die ferner in der Umgebung
der isolirteu singulären Stelle a v in der Form
(a: _ a v ) + ~ üv )
darstellbar ist, wo G v eine mit dem Argument —-— verschwindende
; ö x — a v
ganze rationale oder transcendeute Function bezeichnet, je nachdem
a v aufserwesentlich oder wesentlich singulär ist, so leite man aus den
Functionen G v in der angegebenen Weise die Functionen F v {x) und
CO
dann ^F v {x) ab. Darauf wird
V = 1
co_
F{x) — 2 F *i?)
V ~ 1
nur eine ganze Function G sein. Nach der Zerlegung
V — 1
und der Vereinigung F v {x) -f- 9v\^rzry ~ ®v{ x ) w ^ ri ^ die gegebene
Function F{x) durch eine unendliche Summe analytischer Functionen
dargestellt, deren jede neben h nur eine einzige singuläre Stelle a v
besitzt. Damit ist der zu Beginn dieses Paragraphen verlangte Satz
in dem Umfange bewiesen, dafs die Stellen a v auch wesentlich sin
gulär sein können.
Wir machen noch eine Bemerkung über die Ermittlung der ganzen
Zahlen m v . Die eindeutige Function F{x) besitze die unendlich vielen
aufserwesentlich singulären Stellen erster Ordnung
Cti y (X^ y • • • Clv ^ o • •
unter denen die Null nicht verkommen soll, und die wesentlich sin
guläre Stelle oo. Heifsen ferner die den Stellen a v zugeordneten Func
tionen