Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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m v 
I\{x) = - 
so ist 
00 
F{x) = ^F,{x) 
V = 1 
der Ausdruck, welcher in der Umgebung jeder von der Menge 
verschiedenen Stelle x 0 regulären Verhaltens ist und in der Umgebung 
einer Stelle der isolirten Puuktmenge Q durch 
dargestellt wird. Jeder andere Ausdruck gleicher Art entsteht aus 
F{x) durch Addition eines neuen analytischen Ausdruckes, der nur an 
den Stellen von Q' nicht regulären Verhaltens ist. 
Zum Beweise zeige man, dafs in einer Umgebung p von x 0 , die 
keine Stelle der Menge Q-\-Q' enthält, F(x) gleichmäfsig convergirt. 
Nennt mau die untere Grenze aller Werthe \x — b\ l, wo x jede 
Stelle des Bereiches \x — x Q \ < q bedeutet, so dais also 
\x — h v \>l ( V = 1,2,3...), 
und setzt al — &, so wird für alle Werthe v^>n } für die \a v — h v \ 
< & ist, 
< 
© 
£. 
Weil daselbst 
I Fy ('%) 1 &V) CO 
so leuchtet ein, dafs bei einer endlichen Summe die Reihe 
CO V = 1 
F v {x) gleichmäfsig convergiren wird, denn man kann n so 
v — L 
wählen, dafs 
co 
^\F v {x)\ (n'^>n) 
V — n' 
für alle Stellen der Umgebung q von x 0 kleiner wird als eine beliebig 
kleine vorgegebene Gröfse J. 
Da aber auch die Diiferenz 
co 
- Fi(x) 
V := 1 
in der Umgebung von a\ gleichmäfsig convergirt, besitzt die analy- 
co 
tische Function F[x) = ^F v {x) und endlich F{x) -f- <&{x) die ge- 
V — 1 
nannten Eigenschaften, wenn (&{x) nur mehr au den Stellen h v irre 
gulär ist.