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Sechstes Capitel.
Besteht der Bereich der gleichmäßigen Convergenz eines der ge
fundenen Ausdrücke aus einem Continuum, so kann man jedes seiner
Elemente ^(x\x^) aus jedem anderen ableiten, folglich stellt der Aus
druck innerhalb des Coutinuums eine monogene Function dar. Bildet
die Punktmenge Q-{-Q' die Begrenzung mehrerer Continua, die wohl
gemeinsame Grenzstellen haben können, aber aus deren Innerem kein
continuirlicher Übergang in ein nächstes Continuum zu bewerkstelligen
ist, so wird der Ausdruck in dem einzelnen Bereiche eine monogene
Function vollständig oder blos einen Theil einer solchen darstellen.
Liegen z. B. die Stellen der Menge (Q -)- Q') alle in einem Kreise
\x— a| =r und auf dessen Begrenzung, und kann man aus dem In
nern desselben nicht nach den aufserhalb liegenden Stellen gelangen,
verschwinden ferner die Functionen G v (—-—
\ X ~ a y
wird F{x) innerhalb des Kreises eine monogene Function vollständig
darstellen; ob aber F(x) aufserhalb des Kreises auch eine eindeutige
monogene Function darstellt, die nicht in das Innere desselben fort
zusetzen ist, das ist noch nicht entschieden.
Angenommen, es sei bewiesen, dafs es stets eine eindeutige ana
lytische Function gebe, die innerhalb eines von einer Punktmenge
Qx -{- Qi vollständig begrenzten Continuums regulär und an jeder Stelle
a v der isolirten Menge Q { in der Form
+ ?*(> — «ü
darstellbar ist, wo G v eine nicht identisch verschwindende ganze Func
tion bedeutet, die für —-—=0 Null ist, so kann mau zu der frühe-
x — a v ’
ren Menge Q-\-Q' zurückkehrend folgende Fälle unterscheiden. Es ist
möglich, dafs eine Theilmenge Q x -\-Qi von Q-{-Q' für sich ein Con
tinuum vollständig begrenzt, dann existirt innerhalb eine mono-
geue Function F^{x), deren singuläre Stellen diejenigen der Menge
sifld. Enthält nun Q -f- Q' eine zweite Theilmenge Q^^rQ-i,
die für sich ein anderes Continuum 3l 2 vollständig begrenzt, das aber
theilweise mit zusammenfällt oder ganz enthält, so existirt vor
Allem eine monogene Function F 2 {x) innerhalb 3l 2 , ferner gibt es in
nerhalb der Bereiche 23j und S3 2 , die aus und 3I 2 entstehen, wenn
man den und 3t 2 , gemeinsamen Bereich (£, von und 3l 2 in Ab
zug bringt, zwei Functionen F 3 (x) und F 4 {x), und endlich existirt
auch eine monogene Function innerhalb .
Da kann nun der Fall eintreten, dafs ein einziger Ausdruck F{x),
wenn er in 3i, F t (x) darstellt, gleichzeitig F x {x) darstellen mufs
oder dafs ein Ausdruck F 3 (x), F b (x), F 4 {x), oder innerhalb (ü
und 33 2 F 4 ix), F h (x), F 2 (x) darstellen wird.
nicht identisch, so
