Darstellung der eiudeut. analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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Um uns über diese Möglichkeiten zu orientiren, beweisen wir den 
eben genannten Satz über die Existenz einer monogenen Function 
F x {x), deren singuläre Stellen {Q x -f- $,') einen Bereich 21, vollständig 
begrenzen, - aufserhalb dessen aber noch Stellen existiren, und suchen 
hinterher Ausdrücke zu bilden, welche in verschiedenen Bereichen 
ihrer gleichmäßigen Convergenz analytische Functionen vollständig 
oder nur theilweise darstellen. 
Wenn man beweisen will, dafs innerhalb eines Bereiches 2t, eine 
monogene Function F x {x) existirt, kann man festsetzen, dafs F x {x) 
aufserhalb 21) nicht regulär sei. 
Bezeichnet man mit b x , b 2} & 3 ,... aufserhalb 2t t -f- Q x oder auf 
der Begrenzung dieses Bereiches liegende Punkte und nennt b die 
Punkte von Q x d. h. die Begreuzungspunkte von 21!+$), und heifst 
die untere Grenze von |& — b y \ ß v , so kann man die Stellen b v derart 
wählen, dafs die obere Grenze ß der ß v eine bestimmte endliche 
Gröfse wird und dafs nach Annahme einer beliebig kleinen Gröfse & 
auch ein n gefunden werden kann,*für welches 
a v —b v \— ß v <_ &, 
sobald v n ist. 
Falls die Stellen h v alle der Punktmenge Qß angehören, werden 
wie früher alle ß v Null zu setzen sein. 
Bezeichnet 
^1 ) ^2 > * • * • ' • 
wieder eine Reihe positiver Gröfsen von endlicher Summe und wählt 
man anstatt der einzigen Gröfse e < 1 eine unendliche Reihe positiver 
Gröfsen 
fW, £ (2) , . . . . . . , 
für welche lim £ (v > = 1 ist, so bilde man aus den unseren Stellen a v 
zugeordneten (nicht identisch verschwindenden) ganzen Functionen 
Cr v ( ) F v {x) dadurch, dafs man die Zahlen m v nunmehr der Be- 
\x — a v J 
dinguug gemäfs bestimmt: es soll 
sobald ——^ < £ (v) . Zu diesem Zwecke hat mau ebenso Avie früher 
x — h v = 
(S. 347 und 348), aber entsprechend den verschiedenen Gröfsen ¿V) ver _ 
schiedeue Hilfsgröfsen ßW und a (r) einzuführen. 
Ist b v —oo, so entnehme mau m v der Ungleichung 
und wenn b v endlich ist, der Ungleichung