so dafs \x v \ auf dem Kreise \x — a v \ = r v gleich Eins ist. Dann hat 
\x v \ innerhalb des Kreises stets einen Werth und außerhalb des 
selben einen Werth, der ^ 1 ist. 
Ist z, B. \x v \ {v— 1,2, ... n) in dem Bereiche \x — a v \ < r v klei 
ner als Eins und sind 
F 0 [x), F x {x),...F n {x) 
eindeutige Functionen, deren Stetigkeitsbereich blos durch eine unend 
liche Anzahl aufserwesentlich und eine endliche Anzahl wesentlich 
singulärer Stellen begrenzt ist, auf dafs sie in einem unendlichen Be 
reiche regulär sind, so hat der Ausdruck 
n 
F 0 (x) -f- — ^(1 + ip{x v )) (F v [x) — F 0 {x)) 
V = 1 
die Eigenschaft, die Function F v {x) so lange darzustellen, als x inner 
halb des Kreises r v liegt, und F fl {x) darzustellen, so lange x in dem 
Kreise r^ sich befindet, d. h. derselbe Ausdruck stellt in verschiedenen 
Theilen seines Convergenzbereiches verschiedene Functionen nur theil- 
weise dar. Sollten aber die Functionen F x (x), .. . F n (x) nur innerhalb 
der Kreise r x ...r n , und sollte F n (x) aufserhalb aller Kreise allein 
existiren, so stellt derselbe Ausdruck verschiedene Functionen voll 
ständig dar. 
Sind andrerseits die n Kreise so gewählt, dafs jeder von dem fol 
genden umschlossen wird, wobei der Bereich der Variabein x wieder 
in n-(-1 Theile gesondert ist, so wird der Ausdruck 
n 
Y C^n+i(«) + F x [x]) — i x ) ~ F v {x))ip(x v ) 
V 1 
in dem ersten Kreise F x (x), in dem daran grenzenden ringförmigen 
Gebiete F 2 (x) usw., endlich aufserhalb des letzten Kreises F n+i [x) 
darstellen. Wenn die Functionen F x (x) ... F n +i (x) nur eine endliche 
Anzahl wesentlich singulärer Stellen besitzen, stellt der genannte Aus 
druck in den einzelnen Bereichen Theile verschiedener Functionen dar, 
wenn aber F x (x) innerhalb des ersten, F 2 ix) innerhalb des zweiten 
usw., F^i (x) innerhalb des letzten Bereiches allein existirt, repräsen- 
tirt derselbe Ausdruck mehrere Functionen vollständig, und wenn end 
lich F x (x) innerhalb des ersten Kreises, F 2 {x) in dem zweiten Kreise 
und F n+l (x) innerhalb der ganzen Ebene existirt, so bringt unser 
Ausdruck eine Function, nämlich F x (x), vollständig und die übrigen 
nur theilweise zur Darstellung. 
Wir sehen also an diesen einfachen Beispielen, dafs alle der früher 
genannten Fälle Vorkommen. 
I