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Sechstes Capitel.
Das Wesentliche dieser Erörterungen besteht aber in der Erkennt
nis, dafs der Begriff der monogenen Function mit dem Begriff einer
durch Gröfsenoperationen ausdrückbaren Abhängigkeit nicht vollkommen
zusammenfällt.*) Und wenn man zwei Functionen als identisch er
kennt, die in der Umgebung einer Stelle x 0 für unendlich viele Werthe
mit der Häufungsstelle x 0 übereinstimmen, so ist die Identität zweier
Ausdrücke, deren Bereich gleichmäfsiger Convergenz aus verschiedenen
Continuis besteht, erst dann erwiesen, wenn man die Identität der
verschiedenen Functionen, welche sie darstellen, erkannt hat.
§ 57. Darstellung eindeutiger Functionen durch. Producte.
Es ist schon früher geglückt, nicht allein die ganze, sondern
auch die eindeutige Function mit einer wesentlichen und unendlich
vielen aufserwesentlich singulären Stellen durch den Quotienten unend
licher Producte von Primfunctionen darzustellen.
Die Darstellung einer eindeutigen Function durch unendliche Pro
ducte soll nunmehr verallgemeinert werden.
Zu diesem Zwecke nehmen wir eine isolirte unendliche Puukt-
menge Q an, die mit Q' vereinigt ein Continuum 51 vollständig be
grenzt, ordnen den Stellen von Q
Ct C( <2 y •• • CLy y ■ • •
positive oder negative ganze Zahlen
) n%,. •. n V) ...
zu und beweisen zunächst, dafs es stets eins monogene eindeutige
Function F{x) gibt, die in der Umgebung jeder Stelle von 51 regu
lären Verhaltens ist, an den Stellen a v von der w„ ten Ordnung Null
oder unendlich wird, je nachdem n v positiv oder negativ ist und in
der Umgebung jeder solchen Stelle auf die Form
{x— a v )” v e^*-**'
gebracht werden kann, womit gesagt ist, dafs sie daselbst aufser an
der Stelle a v weder verschwindet noch unendlich wird. Die Stellen
der Punktmenge Q' sind wesentlich singuläre Stellen von F{x). Um
gekehrt wird aber jede Function dieser Eigenschaften in derselben
Weise auszudrücken sein wie F(x). —
Man ordne jeder Stelle a v wieder eine auf der Begrenzung von
5t -f- Q oder aufserhalb dieses Bereiches liegende Stelle b v in der frü
heren Weise zu und wähle eine Reihe positiver Gröfsen
£), £ 2 > • • • • • •
von endlicher Summe und eine weitere Reihe positiver Gröfsen
*) Siehe Weierstrafs, Functionenlehre p. 79 u. s. f.
