Die Elemente der Arithmetik.
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d. h. ist Bestandtheil von a. Bringt man die Gröfse a nach Ver
einigung einer endlichen Anzahl von Elementen auf die Form
a — a x -f- «2? wo a \ ^ ist;
so wird
. 2
a 2 <
1 n
Wählt man nun eine beliebig kleine Gröfse 8, so kann man nach
einer endlichen Anzahl von Operationen einen solchen Bestaudtheil a x
aus a herausgreifen, dafs a — a x < 8 wird. Man hat n nur so grofs
2
zu wählen, dafs — < 8 ist.
Sind zwei gleiche Gröfsen a und b gegeben, so zerlege man die
selben durch eine endliche Anzahl von Transformationen in
a = a x -j- (i2, b = bj —{- b 2 ,
wo a 2 linc ^ ^2 kleiner sind als eine positive Gröfse 8. Weil der abso
lute Betrag von a x —b x , den wir mit |a l — b x | bezeichnen, auch
kleiner ist als 8, erhalten wir den Satz:
Aus zwei gleichen Zahlengröfsen a und h lassen sich stets solche
Bestandtheile a x und b x herausnehmen, dafs die Differenzen {a — af),
{h — hf) und der absolute Betrag (a x — b x \ Meiner wird als eine belie
big Meine vorgegebene positive Gröfse.
Dieser Satz wird durch seine Umkehrung von Bedeutung, die fol-
gendermafseu lautet:
Kann man von zwei Gröfsen a — a, -j- a.,, b — b x -f- b 2 , wo die
Bestandtheile a 2 und b 2 Meiner sind als eine vorgegebene beliebig Meine
Gröfse 8, zeigen, dafs auch \a x — b x \ < 8 wird, so sind a und b ein
ander gleich, d.h. jeder Bestandtheil von a ist in b und, umgehehrt jeder
Bestandteil von b ist in a enthalten.
Beweis. Es sei c ein Bestaudtheil von a, dann zerlege man a
derart in a x -f- a 2 , dafs a 2 < 8 und a x > c wird. Ferner sei in
b = b x -f- b 2 b., < 8 und | a x — b x \ < 8.
Zufolge der letzten Bedingung ist entweder a x Bestaudtheil von b x ,
und dann wird c in a und b enthalten sein, oder es ist b x Bestandtheil
von a x , also a x — b x < 8. Es sei a x = b x e, wo s ebenso wie a x
und b x eine rationale Zahleugröfse bedeutet, die kleiner sein soll als 8,
dann wird b x > c — £ und b — c > b 2 — £. Nehmen wir an, dafs c
kein Bestandtheil von b sei, so mufs s > b 2 sein und a x — b x = s wird
nicht kleiner als das beliebig kleine 8. Ist aber c.Bestandtheil von b,
so wird s < b 2 und unsere Bedingungen sind erfüllt. Damit ist der
Satz bewiesen.