Doppeltperiodische Functionen. 
0 , 0 7] 2 < 
erfüllen und v x und v 2 ganze Zahlen werden, denn man kann 
£1 = V 1 £ ( 1 1} + Vo + Vi ; £ 2 = V 2 l?* + 
setzen. Nun mufs aber 
2rj l G)^ -f- 2 7] 2 co№ 
eine Periode sein, und weil das zufolge der Festsetzungen über die 
Beschaffenheit von 2 "aff 1 ) und 2'co (2 ) nur angeht, wenn rj 2 und rj x ver 
schwinden, so haben wir in 2'w( 1 ) und 2'w (2) wirklich Perioden, durch 
die jede andere ganzzahlig auszudrücken ist: 
2£,g) (1 ) -f- 2£ 2 to( 2 ) = 2v x to (1) -f- 2v.,Tä 
(2) 
und wir wissen von früher her, dafs es in einem endlichen Bereiche 
nur eine endliche Anzahl von Stellen solcher Art geben kann. — 
Bilden wir aus drei Perioden 2a x , 2w 2 , 2cj a , von denen keine 
zwei in reellem Verhältnis stehen dürfen, damit keine unendlich kleine 
Perioden existiren, die Perioden: 
2 £1 «i + 2 £ 2 « 2 -f- 2G3 3 , 
wo £,, £ 2 > £3 wieder reell sind und setzen voraus, dafs in einem end 
lichen Bereiche nur eine endliche Anzahl von Periodenstellen liegt, so 
kann man unter den Perioden ein System 
2ä x = 2co x , 2w 2 == 21< 2 )Oj + 2co 2 , 2a 3 = 2co x -f2o 2 -f- 2||»)co 3 
ausfindig machen, wo die Coefficienten (k — 1, 2, 3) die kleinsten 
der an die Bedingungen 
£ 2 = 0, § 3 = 0 
O^ li ^ 1, 
gebundenen Werthe von 
oder 
oder 
0 
< 1 
B <C I2 ^ 1 > £3 — 
0 <[ £ 2 1 > 0< b3 
2,^3 sind, die bei Perioden Vorkommen. 
Zerlegt man dann £,, | 2 , £3 -f- 2% 2 co 2 -f- 2£, ä co 3 : 
£3 = v £f + % 
£2 = V 2 £i 2) + V 3 ^ + V‘2 
£l = + V 2%\ ] + V i%\ ] + % 
und läfst v x , v 2 , v 3 ganze Zahlen sein, knüpft aber rj x , tj 2} rj 3 au die 
Ungleichungen 
0 <£ Vi < £ ( i 1} » 0 < rj 2 < , 0 <(%< 
so erhält die aus 2a x , 2 co 2 , 2c? 3 bestehende Periode die Form 
2v x ä x + 2v 2 ai 2 + 2v 3 ä 3 , 
denn 
2 Vi «i + 2 V>« 2 + 2 %«3 
kann keine Periode sein. 
Bi ermann, Funotionentheorie. 24