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Siebentes Capitel. I. Abschnitt. 
Setzt man jetzt 
2 COjc = CCfe i ßk (k = 1, 2, 3), 
so lassen sich unter der Voraussetzung, dafs zwischen den Perioden 
2cö k keine ganzzahlige homogene lineare Gleichung besteht: 
2 0| -|— 2 -}~ 2 p< 3 w.j = 0 , 
in welchem Falle eine der Perioden linear von den zwei übrigen ab 
hinge und durch zwei neue Perioden ganzzahlig auszudrücken wäre, 
unendlich viele ganze Zahlen v i , v 2 , v 3 finden, für die 
K«! + v 2 a 2 + v 3 a 3 1 und \v l ß i + v. 2 ß 2 + v 3 ß 3 | 
unendlich klein wird*), d. h. es gibt unendlich kleine Perioden. Doch 
weil solche bei der eindeutigen (oder auch endlich vieldeutigen) ana 
lytischen Function nicht Vorkommen können, gibt es keine dreifach 
(und ebensowenig mehrfach) periodische eindeutige Functionen. 
Ein Periodenpaar der doppeltperiodischen Function, durch welches 
alle Perioden ganzzahlig in der Form 
w = 2pto -2 p co' 
auszudrückeu sind, heifst ein primitives, doch es gibt — wie wir 
wissen — unendlich viele dem Paare (2ca, 2a/) äquivalente Perioden- 
paare (2'co , 2'w'), durch welche mau dieselbe Gesammtheit von Stellen 
w ganzzahlig ausdrücken kann. Dazu mufs nur 
o o 
2 &T = 2pco -f- 2 qxo', 27ö' — 2p co -f- 2q co' 
sein und die ganzen Zahlen p, q, p , q haben die Bedingung 
pq — pq = + 1 
zu erfüllen. 
Der nothwendig von Null verschiedene reelle Bestandteil des 
Verhältnisses ~ besitzt dasselbe Zeichen wie 
Sn 
(pq - pq) 
daher können wir, ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, den 
weiteren Untersuchungen ein primitives Periodenpaar zu Grunde legen, 
bei welchem 
positiv ist. 
Man nennt zwei Werthe des Argumentes congruent oder äquivalent, 
wenn ihre Differenz {x — x 0 ) eine Periode ist. Indem man aber die 
Differenz 
x — x Q = 21 ca -f- 2 £' cd 
setzen kann, wo | und £' reell sind, und ferner 
x — Xq = 2pco -(- 2g ca -j- 2tot -J- 21 co 
*) Siehe z. B. Koenigsberger: Elliptische Functionen 1. Bd. p. 363—367.