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Erstes Capitel. 
Sind a und b zwei durch eine unbeschränkte Anzahl von Elementen 
zusammengesetzte ungleiche Gröfsen, so kann man in dem Falle b < a 
stets eine rationale Gröfse d so finden, dafs auch noch 
b -f- d < a 
wird; ist aber a < b, so existirt eine Gröfse d, für die noch die Un 
gleichung ^ d > a 
erfüllt wird. 
Beweis. Es sei 
a _ | i_ . , . i t i_ . . . 
n l ' V, 2 ' ' n v ' 
und b < a, daun gibt es einen Bestandteil c von a, der nicht in b 
enthalten ist. Denken wir jetzt aus a so viele Elemente --- heraus 
gegriffen , dafs 
^ 1 , 1 . .1 
c —• “I -j- • • • -j- —, 
= n x ' n 2 1 1 n v 7 
so wird c-j — auch Bestandteil von a sein, aber gewifs nicht von 
n v+l 
b -j- d, wenn d < gewählt ist. Man kann also ein d der For- 
n r+l 
derung gemäfs angeben. 
Ist b < a, so kann man aber auch eine Gröfse d so bestimmen, 
dafs b -f- d = a ivird. 
Beweis. In der That wählen wir aus der Elementenreihe 
zwei aufeinander folgende Terme 1 , — , so dafs 
° %—1 ’ n x ’ 
b -| —- > a > h -f- ■— 
und gilt hier die Gleichung a = d + —, so ist — die verlangte 
Gröfse d. Im Falle b -j—— suche mau ein Element —, so dafs 
n x n 2 7 
b + — + -^-r > a > b 4- — + —. 
n x n 2 — i — ' n t ' n 2 
Es kann hier n 2 n ] , aber nicht n 2 < n r sein, sonst wäre nämlich 
die erste Ungleichung nicht richtig. — Gilt hier das Gleichheitszeichen, 
so ist — —— = d, andernfalls bestimmt man ein Element, so dafs 
n, ' n« 1 
b + TT + 
— + JL_ — + — + 
%2 «g—I = 1 fl, ' 1l 2 1 
usw. Durch das beschriebene, vielleicht endlose aber bestimmte Ver 
fahren wird eine Gröfse Ö definirt, denn man kann ihre Elemente 
nach und nach angebeu; sie ist endlich und erfüllt die Gleichung