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zu beweisen, indem man zeigt, dafs jeder Bestandteil der links ste 
henden Gröfsen in den entsprechenden rechts verkommt und umgekehrt. 
Nach Aufstellung des Begriffes einer aus einer unbeschränkten 
Anzahl von Elementen gebildeten Gröfse, nach den Definitionen des 
Gleich-, Gröfser- und Kleiner-Seins zweier solcher Gröfsen, mufs man 
untersuchen, „ob und wie sich für dieselben die arithmetischen Grund 
operationen so defiuiren lassen, dafs erstens die aus zweien Gröfsen 
a und h gebildeten Gröfsen 
a -f- h, a — b, ah, -|- 
Gröfsen derselben Art sind und zweitens die in den auf Seite 15 an 
gegebenen Gleichungen ausgesprochenen Gesetze gelten." 
Die erste Gleichung verlangt, dafs die Summe zweier Gröfsen a 
und h als eine dritte Gröise definirt wird, welche alle Elemente von 
a und h enthält und zwar in der Vielheit, als sie in a und h zu 
sammen Vorkommen. 
Die Summe a -f- h ist mit a und h endlich, denn es gibt Zahlen- 
gröfsen a und ß, die gröfser sind als jeder Bestandtheil von a resp. b, 
und a -f- ß wird gröfser als jeder Bestandtheil von a -f- h. 
Die Summe einer angebbareu Anzahl endlicher Gröfsen ist wieder 
endlich, die Additionsgesetze bleiben erhalten und gleiche Gröfsen 
vertreten einander in der Summe. 
Das Product zweier Gröfsen a und h ist eine Gröfse, die aus den 
Froducteu jeglicher Elemente von a und h zusammengesetzt ist. Dar 
nach kann man angeben, welche Elemente und in welcher Anzahl 
diese in dem Product Vorkommen, dasselbe ist also begrifflich definirt.. 
Man muls nur zeigen, dafs das Product mit den Factoren endlich 
bleibt, dafs die Multiplicationsgesetze erhalten bleiben und sich in 
dem Product gleiche Gröfsen vertreten können. 
Zufolge der Definition der endlichen Gröfse kann man eine ratio 
nale Zahleugröfse a angeben derart, dafs jeder Bestandtheil (a, -f- a. } 
+ ••• + a m ) von a in « enthalten ist. Ebenso sei ß eine rationale 
Gröfse, die jeden Bestandtheil (6 t -f- 6 2 -f- • * • + h m ) von h enthält. 
Greift man hierauf aus dem Producte ah einen Bestandtheil 
k l 
y =2 ¿jUphv 
¿t = l V=1 
Erstes Capitel. 
heraus, 
so ist 
wo 
h 
und 
l 
kleiner oder gleich m beziehungsweise n bleiben, 
m n 
y <! ^ ^u,fih v <a.ß 
¿i = 1 r = J