Die Elemente der Arithmetik.
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d. h. jeder Bestandtheil des Productes ist in aß enthalten und ah ist
endlich.*)
Unter steter Verwendung des verallgemeinerten Gleichheitsbegriffes
lassen sich die Multiplicatiousgesetze beweisen und endlich ist auch
ah = ah', wenn h — h' ist. Dazu mufs wieder jeder Bestandtheil y
von ah auch in ah' enthalten sein und umgekehrt.
In y kommt ein Bestandtheil von a und einer von h vor, der letztere
ist auch in h' enthalten. Es läfst sich also stets ein Bestandtheil
(hf + + h hm) von h' angeben, der mit dem in Rede stehen
den Bestandtheil von a multiplicirt zu einem Producte führt, das
gröfser oder gleich y ist. Folglich ist y auch in ah' enthalten.
Umgekehrt ist jeder Bestandtheil von ah' auch in ah enthalten,
und darum ist ah — ah'. —
Jetzt sind wir zu heurtheilen im Stande, wann die Summe einer
vorgegebenen unendlichen Menge (zuerst hlos) 'positiver und rationaler
Zahlengröfsen a,, a.,.. . a n , d. i, diejenige Gröfse, welche alle Elemente a v
in derselben Vielheit wie die Menge enthält, eine bestimmte Bedeutung
hat. Vor allem darf kein Element oder Summand a v unendlich sein
und keiner unendlich oft Vorkommen, sonst wäre die Summe auch un
endlich und darum unbestimmt, weil wir nur sagen können, sie ist
gröfser als jede endliche Zahlengröfse, Ferner mufs jede aus einer
endlichen Anzahl von Elementen a v gebildete Summe kleiner sein als
eine angehhare Zahlengröfse, damit die Summe der unendlich vielen
Elemente endlich ist.
ln der That, bedeutet S m die Summe irgend einer endlichen An
zahl von Elementen, so kann man in der Reihe von Summanden
6?2, .. • a n , ..
ein n stets so bestimmen, dafs
n
ist. Wäre nun S m > G, wo 6r irgend eine angebbare Zahlengröfse
bezeichnet, so besäfse S m einen Bestandtheil, der in Gr nicht mehr ent
halten ist. Doch weil S m nur Bestandteile besitzt, die der Summe
aller Elemente a v angehören, so müfste die Summe unendlich sein, in
dem ja G beliebig grofs gewählt werden kann. Die genannte Bedin
gung ist also notwendig; sie ist aber auch hinreichend, denn wenn
eine Zahlengröfse g > S m existirt, wird
n m n
*) Hier ist h v das Zeichen für 6, -f- h 2 -)- • • • b *, das
Zeichen für die Summe aller Combinationen a /u b r , wenn fi und v die Zahlenreihen
1, 2 ... m und 1, 2 ... n durchlaufen.