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Siebentes Capitel. I. Abschnitt. 
Sind 2to, und 2gj 3 primitive Perioden der durch die Differential 
gleichung 
dlT = 4x3 9i x ~ 9z i u = 0, x = oo) 
delinirten Function x=p(u), die in der Umgebung der Stelle u = 0 
die Entwicklung 
oo 
!>(«*) = -¿r + 2 ~ 
r = 2 
besitzt, wo 
C-j/ 
ist, so ist klar, dafs c v ungeändert bleibt, wenn man 2«, und 2oj 3 
durch äquivalente Perioden 2und 2'fiT 3 ersetzt oder — was dasselbe 
heilst — wenn man cq und co 3 einer ganzzahligen Substitution: 
Wi =pca 1 -j- q ra 3 
« 3 = P'®1 + 2 »3 
mit der Determinante pg' — p q — -f~ 1 unterwirft. 
Die Ausdrücke c v sind, wie wir gleich nachweisen wollen, ana 
lytische Functionen von ctq und co 3 *). 
Bezeichnet man den Quotienten mit t — a -f- ßi 7 wo unter 
der Annahme eines positiven reellen Bestandteiles jff i^l) a a ^ e 
reellen und ß nur positive reelle Werthe erhalten darf, auf dals 
| e tni \ < 1 
ist, so kann man die unbedingt convergenten Summen in folgender 
Weise schreiben: 
v. 
yfii {2[icai+ 2n'(0 3 f 
(v = 2, 3,...) 
-(-00 oo 
Cn 
Oä®i) 
2 T 
l 
(2®l) 
¡LIZZZ — 00 fX-=Z CO 
— CO 00 co 
2 n 
fX=Z— CO 
Leitet man aus der Formel 
fi— 1 fl —— CO 
( 
"”*co 
S 
1 
V 
+ (‘4 / 
Tt cotg tp'jt = 
m 
. 1 -}- e 
,2 intfi’ 
2i n t fi 
oder aus der äquivalenten Gleichung: 
co co 
l , 4- | 1 —| = — in — 2in e 2j 
T f t fr^ x + i* ~ ¥>) 
*) Vergleiche Hurwitz: Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Math. 
Annalen, ßd, 18.