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Siebentes Capitel. II. Abschnitt. 
Um die uothvvendige und hinreichende Bedingung dafür zu finden, 
geben wir einer Substitution 
erst besondere Normalformen. 
Die beiden Werthe von x. für die x — -----"j - * ist, sind 
7 v .nr: -4- A 7 
yx + S 
und darnach wird der Ausdruck 
gleich 
1 + y ((« + ~ (a + d)j/{a-f ö) 2 — 4) = K 
zu setzen sein und mit Hilfe dieses kann man in dem Falle von ein- 
ander verschiedener Werthe x und x" die Substitution y — auf 
y — X x — x 
y — x' X — x" 
bringen, denn für x — x, x", folgt wie früher y — x, x", 0. 
x — x 
K der sogenannte Multiplicator der Substitution ist nicht gleich 
Eins, wenn (a -}- d) 2 von 4 verschieden ist oder wenn x und x' un- 
»leich sind. Falls die Substitution reell d. h. die Coefficieuten reelle 
Urofseu sind, wird K reell, sofern 
(« + d) 2 - 4 > 0 
ist und der absolute Betrag \K\ ist von Eins verschieden. Ist aber 
4 — (a + d) 2 > 0, 
dann wird K complex und jilT| = 1 d. h. der Multiplicator erhält die 
Form e*'/ 1 , wo nun cp reell ist. 
Sind a, ß, y, d ganze Zahlen, so kann (a -f- d)~ unter der Be 
dingung 4 — (a -f- d) 2 > 0 nur die Werthe Null und Eins besitzen 
und dann ist der Multiplicator 
2 7t i 
~iF 
K = — 1, oder — (= e 
Sind aber die Losungen x , x" einander gleich oder (a -{- 4) 2 = 4 
und K — 1, so kann die ursprüngliche Substitution nicht mehr in der 
früheren Normalform ungeschrieben werden, denn diese wird zur Iden-