Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substitut, in sich. 413 
tität. Da aber jetzt in y — f nur mehr zwei Constante wi 11- 
J J yx -(- 8 
kürlich sind, kann man der Substitution die Form 
1 1 
y — x 
- + c 
geben. 
Ist in unserer früheren Substitution (x, f^[x)) {a x -f- d x y ^4, so 
gebe man der Substitution [x, f (m \x)) die Form: 
(x) — x' 
f (m) (x) 
= K™ 
und hier sieht mau, dafs im Falle /’ (m ) (#) = x 
K m = 1 
werden mufs, d. h. K ist eine m t0 Wurzel der Einheit. 
Ist hingegen (a x -f- d x ) 2 = 4 und a x -j- d x = + 2, so wird 
wie man leicht bestätigt — 
/*(«) (x) = 
(m a x -\- {m — 1)) x -f- m h x 
metX + {md x 4- (m — ])) ’ 
und weil die Forderung, es sei fW(x) = x, die Gleichung 
c x x 2 -f- {d x — a x ) x — h x 
0 
nach sich zieht, so mufs schon f^\x) = x sein. Es kann also nur in 
dem Palle, wo 
№ _ ; (■' i ,) : _ i, 
die Iterirung der Substitution {x,f^{x)') auf x selbst zurückführen. 
Fragt man nach analytischen Functionen F{x), welche blos die 
Substitutionen 
{x,f (n) W) (*»- + 1, ±2,...) 
zulassen und bei anderen Substitutionen {x, f\x)) ihren Werth ändern, 
so kann man die Untersuchung folgendermafsen einrichten*). Setzt man 
/ N OCX ß 
so besitzt die Function 
zufolge der Gleichungen 
F{cp{x)) = 0(x) 
0 ((p~ 1 (x)) — F (x) 
®(9> -1 (/' l W)) = F(f( x )) = F(x) = <!>(<(-' Ixjj 
®(<P (*)))) = «(*) 
die Substitution 
oder 
[ (^ (a x ad 4- b,yd — c t aß — d x ßy)x 4~ 4* &i<? 2 — r x ß 2 — 
{X,-Ip{x)) = {x, <p~ x {f x {fp r {x)))) 
(t ( a i aS + hvd — c,«0- d x ßy)x-\-(a x ß8 -\-b x 8* — c,ß 2 — d i ßd)\ 
t > "1 // \ ’ (—a,ay - &iy*4" c i“ 2 + d x ny)x-\-{— a ißY ~hyä-]- c,orß4- d x u(i)J 
*) Vergleiche Rausenberger: Theorie der periodischen Functionen. § 34.