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Siebentes Capitel. II. Abschnitt. 
und die durch Iterirung dieser gebildeten Substitutionen. Hier verfüge 
man ohne Rücksicht auf die bereits abgeleiteten Normalformen der 
Substitutionen über die Constanten cc, ß, y, d derart, dafs (er, iß {x)) 
eine möglichst einfache Gestalt erhält, denn dann hat auch d>(x) ein 
fache Substitutionen. 
Soll x aus dem Nenner ausfallen, so mufs 
CyO 1 -f- {d t — a x )ay — h l y 2 = 0 
werden. Hierin kann man cc und y nicht gleichzeitig Null setzen, 
sonst wäre cp{x) blos eine Constante und <&{x) hätte keine einfacheren 
Substitutionen als F{x). Setzt man y = 0, so wird c x Null und F{x) 
wäre bereits eine Function mit einer Substitution der verlangten Art. 
Wir schliefsen daher den Fall y — 0 aus und lösen die Gleichung 
Sind die Wurzeln verschieden, so gibt es zugleich mit F{x) eine Func 
tion 0{x), welche eine Substitution der Form 
(er, iß(x)) = (er, Kx -j- 7c) 
zuläfst. Bezeichnet hierauf (er, %i x )) eine neue Substitution (er, cc x -j- ß'), 
so existirt mit <h(er) eine Function *F{x) f welche die Substitution: 
(*> xr'txHv)) = («, Ka x + 
gestattet. Wählt man hier ß' so, dafs Kß' — ß' ~\- li verschwindet, 
dann hat die neue Function W(x) die Fundamentalsubstitutiou: 
(x, Kx) . 
K bezeichnet wieder den Multiplicator der ursprünglichen Substitution 
(er, /’(er)), wie man leicht berechnen kann, indem mau nur nach der 
jenigen Substitution y = («j— h 1 c, — 1) fragt, die mit 
CfX *~p Ctj 
Hilfe der Substitution cp (er) — ^ aus y = Kx resultirt, auf 
dafs also 
cc a 1 x + b L 
c,ic -j- d, ‘ H ccx -f- ß 
Tv+Kj-i 
y c, x -f- i?i ^ 
wird. Entsprechend den zwei Lösungen für ~ gibt es aber zwei 
Multiplicatoren, doch weil ' 
F{f v {x)) = F(x) = Fif- 1 {x)) 
ist, wird der eine nur das Reciproke des zweiten sein, oder mit anderen 
Worten: man kann die Substitution (er,/"(er)) mit dem Multiplicator 7ST 
ebenso wie die Substitution {x ) f~ 1 {x)) mit dem Multiplicator als