Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substit. in sich. 
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die fundamentale Substitution ansehen, und deshalb dürfen wir voraus 
setzen, dafs die Function ? i f (x) eine Substitution {x, Kx) habe, in 
welcher | K \ < 1 ist. — 
Ist aber K = l, so gibt es zugleich mit F{x) eine Function &(x) f 
welche die Substitution 
if>(x) = x 4 Tt 
zuläfst. Setzt man dann 
X (x) = ~x, 
a#o c eine beliebige Gröfse ist, so hat d*{j i (x)) = W(x) eine Sub 
stitution : 
Fragt man wieder nach der Substitution y = a l°FtA, ( ]j e m jt 
C-f CC “j“ Ci j 
«y 4 ß _ ax + ß i r 
yy 4 $ Y x -f- S' 
sein, so hat man 
a x ——ad-\-ßy— yd 1 , h l =—d 2 , c x — y 2 , d x =—ad-{-ßy-\-yd 
zu setzen, und wenn a x d x — h x c x = 1 ist, ergibt sich für a x und ä x 
die Bedingung 
(a, 4- d x y -4 = 0, 
unter welcher auch früher K = 1 war. 
Nehmen wir an, dafs c=l sei, so ist die aus 
P {x) = x 1 
gewonnene Substitution 
P n) {x) = X 4 n, 
und eine Iterirung kann niemals auf x zurückführen, d. h. eine ein 
deutige Function F{x) mit einer linearen Substitution (x, x-\- c) hat 
für unendlich viele Werthe des Argumentes denselben Werth; sie mufs 
transcendent sein. Weil F(x) an der Stelle oo wegen der Gleichung 
F(x 4 °°) = F{x) = jP(oo) 
jedem Werthe beliebig nahe kommt, ist die Stelle oo eine wesentlich 
singuläre. Hat F(x) noch eine andere wesentlich singuläre Stelle ir 0 , 
so sind auch x 0 ^jr ne wesentlich singuläre Stellen. 
Die hier genannten Functionen sind die einfach 'periodischen. 
Eine eindeutige Function mit einer Substitution y = Kx, wo 
| K | ^ 1 ist, hat niemals eine Substitution 
(x, P n) (x)) = {%) K n x) = (;x, x), 
sie nimmt daher einen und denselben Werth unendlich oft an, und weil 
F{K n x) und F