Die Elemente der Arithmetik. 
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Es wird 
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und 
-j- ^*2 H~ ' ■ ■ “I - n -f- • • •) b — b(i\ -f- h ciy -j- ■ ■ ’ H - b a n "j- 
= b {a x -j- &2 ~h ‘ ’ * -h a * -f- ’ * ’) 
(«] -f- «2 + ■ ■ ■ 4" a n + • • •) (&l + ^2 “h ■ * ’ bn + • • ■) 
= ¿tj Z>, -f- a { b. 2 -{- «2^1 4" ‘ ' ' a>t a n-\b 2 -}- a, b n -f - • • • 
Bezeichnet man die Summe der Gröfsen a v mit S a , die der Gröfsen b v 
mit S b} so haben die neu gebildeten Reihen die Summe b.S a resp. 
S a . S b . - 
Ist eine unendliche Menge endlicher Gröfsen 
) Ch‘i j • • • U'n) • • • 
gegeben, unter denen nicht unendlich viele gleiche verkommen, so 
sagt man, dafs die Summen 
iS] = a 1 , S 2 = <&]-{- a. 2 , /S 3 = £ij -|- a 2 “f“ , ... 
S n = (l\ “j~ 0*2 "j - * " * “f" 
gegen eine Gröfse S convergiren, wenn nach Annahme einer beliebig 
kleinen positiven Gröfse ö eine ganze Zahl m so bestimmt werden 
kann, dafs für alle Werthe von n^>m 
S-Sn < ö. 
Wenn die unendliche Menge von Gröfsen a v eine endliche Summe 
S besitzt, so convergiren die Summen S { , S 2 . . . S n . . . nach der 
Gröfse S. 
Wählt man irgend eine kleine positive Gröfse s, so kann man zu 
dieser eine ganze Zahl m derart finden, dafs für alle n i> m 
S — S n < £ 
wird und diese Ungleichung stimmt mit der früheren überein, sobald 
s < d ist. Daun convergiren die Gröfsen S ] , S 2 .. . S n .... wirklich 
nach S. 
Convergiren umgehehrt die Summen S u S 7 ... S n ... nach der end 
lichen Gröfse S, so ist S die Summe der Reihe 
a \ 4" a 2 + • • • “f" a n + * • • , 
denn wegen der jetzt geltenden Ungleichungen 
S — S n < d (n ^ m) 
ist die Summe endlich und von S nicht verschieden. 
Damit ist die Definition der Summe einer unendlichen Reihe voll 
zogen und wir sehen, dafs die Summe einer unendlichen Menge posi 
tiver rationaler Gröfsen a v gleich ist der durch die Zusammensetzung 
dieser Gröfsen defiuirten Gröfse, die wir oben als ein im Gegensatz 
zu den gegebenen Gliedern für sich bestehendes bestimmtes Object 
gedacht haben.