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Siebentes Capitel. II. Abschnitt. 
liehen Gruppe unterwirft, so ist klar, dafs F{x) jeden Werth, den 
diese Function aunimmt, in jedem einzelnen Fuudamentalpolygon er 
halten und somit in diesem Polygon unendlich werden und jeden Werth 
annehmeu mufs. Ferner aber besitzt sie einen und denselben Werth 
in jedem Polygon Bj gleich oft. 
Wollte man die Existenz der Function F(x) nachweisen, so hätte 
mau eine der Function 6 ix) analog gebildete Hilfsfunction cp(x) auf 
zustellen, die in jedem Polygon, das aus einem ersten abzuleiten ist, 
einmal verschwindet und nur an den Häufungsstellen der erst gewähl 
ten Nullstelle x 0 und den Stellen der abgeleiteten Punktmenge dieser 
letzten wesentliche Singularitäten besitzt. Bezeichnet dann cpp diese 
Hilfsfuuction, die in dem ersten Polygon an der Stelle a^, cpy die 
jenige, welche daselbst an der Stelle bp verschwindet, so wird der 
Ausdruck 
<Pi <P2 • • ■ <P m 
9>lVt • • ■ <Pn 
e G M, 
wo G{x) in dem Bereiche (31) nicht unendlich wird, eine Function, 
die innerhalb 31 vom Charakter der rationalen Function ist und in 
jedem Polygon m Nullstellen und n Unendlichkeitsstellen auf weist. 
Damit diese blos in dem Bereiche (3t) existirende Function bei 
den Substitutionen ungeändert bleibt, werden aber die Null- und Un 
endlichkeitsstellen besondere Beziehungen erfüllen und G{x) eine be 
sondere Beschaffenheit aufweisen müssen. 
Im Falle der doppeltperiodischen Functionen, die im Endlichen 
nur aufserwesentlich singuläre Stellen besitzen, war die Anzahl der 
Null- und Unendlichkeitsstellen in jedem Polygone (Parallelogramme) 
dieselbe. Doppeltperiodische Functionen gab es nicht und ferner war 
bei den Functionen r ten Grades stets eine Nullstelle durch die r Un- 
endlichkeits- und (r—1) Nullstellen bis auf eine Periode bestimmt. 
Für die hier in Rede stehenden eindeutigen Functionen mit linea 
ren Substitutionen in sich, die in ihrem Giltigkeitsbereiche (31) vom 
Charakter der rationalen Functionen sind, gelten analoge Sätze. 
Vor Allem besitzt jede solche Function in jedem Fundamental 
polygone ebensoviele Null- als Unendlichkeitsstellen und nimmt dann 
auch jeden Werth gleich oft an. Versteht man darnach unter dem 
Grade der Function die Zahl, welche angibt, wie oft die Function in 
dem Fundamentalpolygone jeden Werth erhält — wobei die Stellen 
unter denselben Bedingungen mehrfach zu zählen sind, wie bei den 
rationalen Functionen —, so wird sich ferner herausstell en, dafs es 
je nach Art der Gruppe (oder der Fundamentalsubstitutionen), die wir 
hier allerdings nicht unterscheiden lernten, keine Functionen gibt, die 
vom nullten, ersten oder p ten Grade wären.