Einleitung in die Theorie der Functionen mit linearen Substit. in sich. 
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Heilst die zu einer Gruppe gehörige Function vom p ten Range 
oder Geschleckte, wenn es keine Function p ten Grades gibt, die bei 
den Substitutionen ungeändert bleibt, wohl aber eine Function (p-J-l) ten 
Grades existirt (wonach die doppeltperiodischen Functionen vom ersten 
Range sind), so werden von den r Nullstellen einer Function r ten 
Grades und p ten Ranges q Nullstellen oder doch q diesen äquivalente 
Stellen durch die r ünendlichkeits- und (r—9) übrigen Nullstellen 
bestimmt sein. 
Angenommen, diese Sätze seien bewiesen, dann folgt, dafs zwi 
schen zwei zu derselben Gruppe gehörigen Functionen F x {x) und F 2 {x) 
vom r x und r 2 ten Grade und dem Range p eine algebraische Gleichung 
G(F u F 2 ) = 0 
besteht. 
In der That: betrachtet man F 2 als Function von F x , so gehören 
einem Werthe von F x r x im Allgemeinen verschiedene iuäquivalente 
Werthe des Argumentes x und diesem r x im Allgemeinen verschiedene 
Werthe von F 2 zu. F 2 ist also eine r x heutige Function von F x und 
als Lösung einer algebraischen Gleichung r x ien Grades aufzufassen, 
deren Coefficienten nur rationale Functionen von F x sind, indem die 
elementarsymmetrischen Functionen der zu einem Werthe von F x ge 
hörigen Werthe von F 2 als Functionen von F x durchwegs vom Cha 
rakter der rationalen Function sind. 
Eine rationale Function von F x und F 2 ist wieder eine eindeutige 
analytische Function von x, welche dieselben Substitutionen zuläfst 
wie F x {x) und F 2 (x). 
Zeigt man umgekehrt, dafs jede zu derselben Gruppe gehörige 
Function & x {x) rational durch F x und F 2 darstellbar ist (wie jede 
doppeltperiodische Function mit dem Periodenpaare (2m, 2 m') rational 
durch die zu demselben Paare gehörende Function p{x) und deren Ab 
leitung p {x) auszudrücken ist) und bemerkt, dafs & x {x) mindestens 
(p-f-1) ünendlichkeitsstellen in dem Elementarpolygoue haben mufs, 
so leuchtet ein, dafs die algebraische Gleichung 
G{F i> F 2 ) = 0 
vom Range q ist. — 
Daneben besteht daun der Satz; Sind <D X {x) und 0 2 {x) wieder zu 
der Gruppe von F x und F 2 gehörende Functionen, zwischen denen 
eine algebraische Gleichung 
= 0 
besteht, so kann man nicht allein & x und <2> 2 rational durch F x und 
F 2 , sondern auch F x und F 2 rational durch und & 2 darstellen, 
d. h. die Gleichung F== 0 gehört derselben Klasse an wie die zwischen 
F x und F 2 ; sie ist auch vom Range p.